Реферат на тему:

Диференціальні рівняння вищих порядків

1 Основні поняття та означення

Диференційне рівняння n-го порядку не розв’язані відносно похідної має вигляд:

F(x,y,y`,…,y(n-1)) (1)

А розв’язане відносно y(n) має форму

y(n)=f(x,y,y`,…,y(n-1)) (2)

O.1 Функція y=y(x) визначена і n раз неперервно диференційовна на (a,b), називається розв'язком диференційного рівняння (1), якщо вона на (a,b) перетворює в тотожність :

(3)

Будь-якому розв'язку диференційного рівняння (1) відповідає на площині (x,y) деяка крива, яку будемо називати інтегральною.

2 Динамічна інтерпретація диференційного рівняння другого порядку. Консервативні системи.

Розглянемо нелінійне диференційне рівняння (4) і представимо собі рівняння (5) як рівняння руху частинки з одиничною масою при дії сили мал. 1).

Значення x і в момент t характеризують стан системи на площині (x,) (мал. 1). Ця площина називається площиною стану або фазовою площиною. Кожному новому стану відповідає нова точка на площині. Траекторія зображаючої точки назавають фазової траекторією, швидкість – фазовою швидкістю.

Від диференційного рівняння (5) можна перейти до системи

, (6)

Можна показати, що система (5), як і більш загальна ,,(7) де ,- неперервні функції разом з своїми частинними похідними в деякій області D, мають ту властивість, що, якщо x(t), y(t) – розв'язки системи, то і x=x(t+c), y=y(x+c), де с - довільна константа, теж є розв'язком.

Система (7) називається автономною або стаціонарною.

Якщо система (7) задана на всій площині, то фазові траекторії покриють всю площину і не будуть перетинатися одна з одною. Якщо в деякій точці (x0,y0) , то така точка нази вається особливою. В пожальшому будемо розглядати тільки ізольовані точки, тобто такі, в деякому малому околі яких немає інших особливих точок.

В реальних дінамічних системах енергія розсіюється. Роз сіювання ( дисинація) енергії проходять в зв'язку з наявністю тертя. В деяких системах проходить повільне розсіювання енергії і їм можна знехтувати. Для таких систем має місце закон збереження енергії: сума кінетичної і потенціальної енргії постійна. Такі системи називають консервативними.

Розглянемо консервативну систему:

(8)

Від (4.8) перейдемо до наступної системи :

, (9)

Виключаємо в (9) t:

, mydy=-f(x)dx (10)

Припустимо, що при t=t0: x(t0)=x0, y(t0)=y0 і проінтегруємо (4.10) від t0 до t :

(11)

Звідки (12)

Так як є кінетична енергія, а V(x)=-потенціальна, E=+V(x0) – нова енергія, то (12) виражає закон збереження енергії.

+V(x)=E (13)

Співвідношення (13) задають інтегральні криві на площині. Вони будуть різні і залежать від E.

Ми дали механічну інтерпретацію диференційних рівняннянь другого порядку. Зупиняємося на геометричной.

Розглянемо f(x,y,y`,y``)=0 і перепишемо його у вигляді (14)

F(x,y,y`,(1+)3/2)= F(x,y,y`,)=0 (15)

Поскільки (1+)3/2 – кривизна кривої, то диференційне рівняння другого порядку являє собою зв'язок між координатами, кутом нахилу дотичної та кривізною в кожній точці інтегральної крівої.

2 Задача Коші, єдиність розв'язку задачі Коші.

Розглянемо диференційне рівняння (2) і поставимо задачу Коші: серед всіх розв'язків диференційного рівняння (2) знайти такий y=y(x), який задовольняє умовам

y(x0)=y0, y`(x0)=y0,…,y(n-1)(x0)=y0n-1 , де x0,y0,y-01, y-02,…,y0n-1 –задані числа, (15)

x0 – початкове значення незалежної змінної,

y0,y01, …y0n-1 –початкові данні.

Для диференційного рівняння другого порядку

(17)

задача Коші заключається в тому, щоб знайти такий розв'язок диференційного рівняння (17), який би задовольняв умовам:

, . (18)

Геометрично задача полягає в тому, щоб знайти таку криву y=y(x), яка задовольняє диференційне рівняння (18), проходить через точку M(x0,y0) і має заданий напрямок дотичної .(мал 2)

Механічний зміст задачі Коші.

, , (19)

Зайти ту траекторію механічної системи, яка представляється диференційним рівнянням (19), і має в t0 фіксоване положення x0 і швидкість V0.

Розглянемо питання єдиності та існування розв'язку задачі Коші(2)(16). Єдиність для диференційного рівняння (2) не означає, що через т.М(x0,y0)проходить тільки одна інтегральна крива. Наприклад, для диференційного рівняння (17) єдиність розуміється в тому сенсі, що через т.М(x0,y0) проходить єдина інтегральна крива (мал 2) з заданим нахилом дотичної, а через точку М(x0,y0) можуть проходити і інші інтегральні криві, які мають інші нахили дотичної.

Теорема про достатні умови існування та єдиності розв'язку задачі Коші (теорема Пікара)

Необхідні умови існування розв'язку задачі Коші (2),(16) – права частина (2) неперервна в околі початкових даних по всім аргументам.

Теорема. Розглянемо задачу Коші (2)(16) Припустимо, що функція f(x,y,y`,…,y(n-1)) визначає в деякій замкненій обмеженій області

R:, ,,,…, (20)

(a,b- додатні дійсні числа) і задовільняє в цій області умовам:

(21)

(тут M>0 –константа );

2) Функція f(x,y,y`,…,y(n-1)) має обмежені часткові похідні по змінним Функція y,y`,…,y(n-1), тобто , l=0,1,2,…,(n-1); (y,y`,…,y(n-1)) , (22)

де K – константа.

При цих припущеннях диференційне рівняння (2) має єдиний розв'язок, який задовольняє умовам (16) і є неперервним разом з усіма своїми похідними до n-го порядку включно на інтервалі (23)

З теореми випливає, що для поліноміальної правої частини диференційного рівняння (2) розв'язок задачі Коші з довільним початковими умовами існує і є єдиним.

3 Загальний розв'язок і загальний інтеграл. Частинний та особливий розв'язки. Проміжні та перші інтеграли.

Загальним розв'язком диференційного рівняння назвемо сімейство розв'зків, яке залежить від n довільних констант c1,…,cn

y=y(x, c1,…,cn ) (24)

Геометрично воно представляє сімейство інтегральних крівих на площині (x,y), залежне від n параметрів c1,…,cn , причому рівняння цього сімейсва розв'язано відносно y.

Розглянемо область D в просторі (x,y,y`,…,y(n-1)), в кожній точці якої виконуються умови теореми про існування і єдиність задачі Коші.

Озн 2 Функцію (24), визначену в деякій області змінних x, c1,…,cn і яка має частинні похідні по x до n-го порядку включно, будемо називати загальним розв'язком диференційного рівняння (2) в області D, якщо система