точності достатньо було провести 5 ітерацій (n=5). Взагалі слід відзначити, що апостеріорна оцінка (16) є більш точною і її використання може заощадити деяку кількість обчислень.
Приклад 3. Методом релаксації знайти найменший за модулем від’ємний корінь рівняння
x33x21=0 (32)
з точністю =104.
Розв’язання. Спочатку виділимо корені рівняння (32) користуючись наступною таблицею
Табл.3
x | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | 1 | 2 | 3
signf(x) | + | + | + | + | +
З даної таблиці видно, що рівняння має три корені розташовані на проміжках [3;2], [1;0], [0;1]. Будемо знаходити корінь на проміжку [1;0]. Обчисливши значення f(0,5)=0,375 можна уточнити проміжок існування кореня [1;0,5].
Позначимо f(x)=x33x21. Тоді і є монотонно зростаючою функцією на [1;0,5] (оскільки ).
Тому ,
.
Тоді, відповідно до формул (20) і (21), будемо мати вигляд
. (33)
Вибравши за початкове наближення точку x0=0,5 будемо мати оцінку , а кількість ітерацій, які потрібно провести для знаходження розв’язку з точністю =104 буде дорівнювати 5 (див. (22)). В табл. 4 наведені відповідні дані ітераційної послідовності:
Табл.4
n | xn | f(xn)
0 | 0500000E+00 | 0142857E+00
1 | 0642857E+00 | 0985700E-02
2 | 0652714E+00 | 0105500E-04
3 | 0652704E+00 | 0596046E-07
4 | 0652704E+00 | 0000000E+00
5 | 0652704E+00 | 0000000E+00
Із наведених даних видно, що необхідна точність досягається раніше 5-ї ітерації. Це досить характерно для апріорних оцінок типу (22).
Приклад 4. Методом Ньютона знайти найменший додатній корінь рівняння
x3+3x21=0 (34)
з точністю =104.
Розв’язання. З табл. 3 видно, що рівняння (34) має єдиний додатній корінь, що належить проміжку [0;1]. обчислимо f(0,5)=0,125. Тепер будемо шукати корінь на проміжку [0,5;1]. Нехай f(x)=x3+3x21. Тоді .
,
.
Виберемо x0=1, тоді . З формули (25) маємо
.
Тобто всі умови теореми про збіжність методу Ньютона виконані. З формули (28) маємо, що для досягнення заданої точності достатньо провести 7 ітерацій. Відповідні обчислення наведені в табл. 5.
Табл.5
n | xn | f(xn)
0 | 01000000E+01 | 03000000E+01
1 | 06666667E+00 | 06296297E+00
2 | 05486111E+00 | 06804019E-01
3 | 05323902E+00 | 01218202E-02
4 | 05320890E+00 | 04395228E-06
5 | 05320889E+00 | 04230802E-07
6 | 05320889E+00 | 04230802E-07
7 | 05320889E+00 | 04230802E-07
Задачі
Знайти одним з ітераційних методів дійсні корені рівнянь з точністю (наприклад =104).