Схема експерименту Холла z

До провідника, розміщеного вздовж осі х, прикладене електричне поле Ех., що викликає електричний струм Jx .Існує також, окрім того, магнітне поле Н, паралельне осі z. В результаті виникає сила Лоренца:

-eVc/c*H (13).

Вона відхиляє електрони у негативному напрямку осі у (дрейфова швидкість електронів напрямлена проти струму). Однак електрони не можуть довго рухатися у напрямку осі у ,оскільки вони досягають границі провідника. У міру того ,як вони там накопляються ,наростає електричне поле, напрямлене вздовж осі у і протидіюче руху і подальшому накопиченню електронів. У стані рівноваги це поперечне поле (або поле Холла) Еу компенсує силу Лоренца і струм протікає лише у напрямку осі х. Дві величини цікавлять нас .Одна з них - це відношення поля вздовж провідника Ех до густини струму Jx:

g(H)=Ex/Jx (14)

Холл виявив, що ця величина (магнітоопір) не залежить від поля. Іншою характеристикою є величина поперечного поля Еу. Оскільки таке поле зрівноважує силу Лоренца, можна вважати, що воно повинно бути пропорційним як прикладеному полю Н, так і струму Jx в провіднику. Тому величину ,названу коефіцієнтом Холла визначають як

RH=Ey/JxH (15)

Оскільки поле Холла напрямлене проти осі (мал.3), коефіцієнт RН повинен бути негативним. З іншої сторони, якби заряд носіїв був позитивним, знак їх х-компоненти швидкості був би зворотнім і сила Лоренца залишилася б незмінною. В результаті, поле Холла мало би напрям, протилежний тому, яке воно має при від’ємно заряджених носіях. Цей висновок дуже важливий, оскільки він означає, що вимірювання поля Холла дозволяють визначити знак носіїв заряду. Експериментальні дані, вперше одержані Холлом, були у відповідності із знаком заряду електрона, визначеним пізніше Томсоном. Одна із хороших особливостей еффекту Холла полягає в тому ,що в деяких металах коефіцієнт Холла позитивний і тому носії мають мати протилежний заряд. Щоб визначити коефіцієнт Холла і магнітоопір, визначимо спочатку густину струму Jx і Jy на випадок., коли єелектричне поле з довільними компонентами Ex і Ey, а також магнітне поле Н, напрямлене вздовж осі Z. На кожен електрон діє сила ѓ=-е(Е+V0H/с), тому рівняння (12) для імпульсу у розрахунку на один електрон набуває вигляду:

dp/dt=-e(E+p/mc*H)-p/ф (16)

У стаціонарному стані струм не залежить від часу, тому рx і рy задовольняють рівняння:

0=-eEx-wc py-px/ф (17)

0=-Ee+wc px-py/ф

де

wс=eH/mc (18)

Домножимо ці рівняння на –neф/m і вводячи компоненти густини струму (4), знайдемо

уEx=wcф*jy+jx

уEy=wcф*jx+jy, (19)

де у-статична електропровідність для моделі Друде за відсутності магнітного поля(що описується (6)). Поле Холла Еy визначається за умови перетворення в 0 поперечного струму Jy. Якщо Jy=0 у 2-гій (19), одержуємо:

E y=-(wcф у)*Jx =-(H/nec)*Jx (20)

R H=-1/nec (21)

Це вражаючий результат: згідно нього коефіцієнт Холла не залежить ні від яких параметрів металу, окрім густини носіїв. Вище ми обчислили n, вважаючи, що валентні електрони атома в металі перетворюються в електрони провідності. Вимірювання коефіцієнтів Холла дає прямий спосіб перевірки справедливості такого припущення.

5. Високочастотна електропровідність металу.

Для того щоб обчислити струм, залежний від часу, який створений в металі електричним полем, запишемо його у вигляді :

E(t)=Re((щ)e-iщt) (23)

Тоді рівняння руху

dP(t)/dt=-P(t)/ф+f(t)

для імпульсу який припадає на один електрон , набуває вигляду :

dP(t)/dt=-P/ф-eE (24)

Знайдемо стаціонарний розв’язок у формі

P(t)=Re(p(щ) e-iщt) (25)

Підставляючи комплексні величини р і Е в рівняння (1.24), яке повинно розв’язуватись по чистинах для дійсної і уявної частин, отримаємо, що p(щ) задовольняє рівняння

-iщp(щ)=-P(щ)/ф-eE(щ) (26)

Так як

J=-nep/m,

густина струму дорівнює :

j(t)=Re(j(щ) ) e-iщt

j(щ)=-nep(щ)/m=(ne2/m)E(щ)/((1/ ф)-i щ) (27)

Цей результат також записують і вигляді :

j(щ)=у(щ)E(щ) (28)

де величина у(щ) називається високочастотною провідністю , і обчислюється :

у(щ)= у0/(1-i щф); у0= ne2ф/m (29)

Звернемо увагу на те, що при частоті , яка дорівнює нулю, цей вираз перетворюється в результат Друде у=ne2ф/m для статичної провідності.

Найбільш важлива область застосування знайденого результату - дослідження розповсюдження електро – магнітного випромінювання в металі.

Якщо електричне поле не змінюється істотним чином на відстанях, які порівняно з довжиною вільного пробігу електрона великі, ми маємо право при обчисленні густини струму j(r,t) в точці r вважати, що поле у всьому просторі має таку ж величину E(r,t), як і в точці r . звідси і отримаємо результат

j(r,щ) =у(щ) E(r,щ) (30)

він правильний, якщо довжина хвилі л поля велика порівняно з довжиною вільного пробігу електрона l . В металах ця умова зазвичай виконується для видимого світла (довжина хвилі 103-104 А ). Коли вона порушується , то застосовуються інші складніші теорії.

Вважаючи, що довжина хвилі велика порівняно з довжиною вільного пробігу, можна поступити наступним чином. Якщо ми маємо густину струму j , то рівняння Максвела можна записати у вигляді :

Ў?E=0; Ў?H=0; Ўx E=(-1/c)(?H/?t); Ўx H=4рj/c+(1/c)(?E/?t) (31)

Будемо шукати розв’язок , який залежить від часу як e-iщt . зауважимо, що в металі можна виразити j через Е з допомогою формули (1.28), знаходимо:

Ўx(Ўx E)=- Ў 2E=(iщ/c) Ў x H==(iщ/c)(4руE/c- iщE/c) (32)

або інакше :

- Ў2E=(щ2/c2)(1+4рiу/ щ) E (33)

Рівняння (1.33) має вигляд звичайного хвильового рівняння

- Ў2E=(щ2/c2)е(щ)E (34)

з комплексною діелектричною проникністю

е(щ)=1+4рiу/ щ (35)

Якщо частота достатньо велика, так що виконується умова:

щф?1 (36)

то в першому наближенні , виходячи із (35) і (29), отримаємо

е(щ)=1- щ2p / щ2 (37)

де величина щp, називається плазмовою частотою, і обчислюється :

щ2p =4рne2/m (38)

Якщо е - дійсна від’ємна величина ( щ>щp) , то рівняння (34) має лише такі розв’язки , що в