ф=(0,22/сm)(rs/a0)3/2?1014c,

визначення плазмової частоти (39) можна використати для розрахунку величини щpф:

щpф=1,6?102?(фs/a0)3/2(1/сm) (39)

Оскільки питомий опір см вимірюється в мкОм.см, має порядок одиниці або менше, а величина rs/a0 лежить в межах від 2 до 6 то умова (36) добре виконується при плазм енній частоті.

Підставляючи в (36) числові значення сталих, отримаємо, що прозорість повинна виникати при частоті

н p=щp/2р=11,4(rs/a0)3/2?1015 Гц

або

л p=с/ н p=0,26(rs/a0)3/2?103 Е.

6. Теплопровідність металу.

Найбільш вражаючим успіхом моделі Друде в той час , коли вона була запропонована , було пояснення емпіричного закону Відемана і Франца. Закон Відемана – Франца стверджує , що відношення ч/щ теплопровідності до електропровідності для більшості металів прямо пропорційний до температури, причому коефіцієнт пропорційності з достатньою точністю однаковий для всіх металів. Для пояснення цієї закономірності в рамках моделі Друде вважають, що основна частина теплового потоку в металі переносяться електронам провідності. Це припущення основане на тому емпіричному спостереженні , що метали проводять тепло набагато краще ніж діелектрики. Тому теплопровідність обумовлена іонами менш важлива порівняно з теплопровідністю обумовленою електронами провідності (які існують тільки в металах ).

Для того щоб визначити коефіцієнт теплопровідності і розрахувати його розглянемо металевий стержень , вздовж якого температура плавно змінюється. Якщо б на кінцях стержня не було джерел і витоків тепла, що підтримую градієнт температури, то його гарячий кінець охолоджувався б , а холодний – нагрівався б , тобто теплова енергія текла би в напрямку протилежному градієнту температури. Підводячи тепло до гарячого кінця з тією ж швидкість , з якою воно звідти виходить , можна встановити стаціонарний стан з градієнтом температури і постійним потоком теплової енергії. Ми визначимо густину потоку тепла jq , як вектор паралельний напрямку потоку тепла і рівний по абсолютній величині кількості теплової енергії, що перетинає за одиницю часу одиничну площадку перпендикулярну потоку. Для малих градієнтів температури потік тепла є пропорційним

T : jq=-чT ( 41 )

Коефіцієнт пропорційності ч називають коефіцієнтом теплопровідності. Він додатній, оскільки напрям потоку тепла протилежний напрямку градієнта температури.

В якості конкретного прикладу розглянемо випадок, коли існує постійний перепад температур в додатному напрямку по осі х . Тоді в стаціонарному стані потік тепла напрямлений також в напрямку х і має абсолютну величину jq=-чT/x. Для того, щоб розрахувати цей тепловий потік, зауважимо, що швидкість електрона після кожного зіткнення відповідає локальній температурі : чим вища температура в місці зіткнення , тим більшою енергією володіє цей електрон. Отже , навіть якщо середнє значення швидкості електронів в будь – якій точці буде дорівнювати нулю, то при таких умовах буде існувати сумарний тепловий потік, напрямлений в сторону області з більш низькою температурою. (див. мал)

Висока температура Низька температура

Схематичне зображення відношення між градієнтом температури і потоком тепла.

Це пояснюється тим, що електрони, які переміщаються в дану область з високою температурою, мають більш високі енергії, ніж електрони, які приходять з області з низькою температурою.

Для того, щоб отримати на основі цієї картини кількісну оцінку теплопровідності, спочатку розглянемо спрощену одновимірну модель, в якій електрони здатні рухатись лише вздовж осі х , так , що в точку х половина електронів приходить з тої сторони , де температура вища, а половина - де температура нижча. Якщо е(T) - теплова енергія , що припадає на один електрон в металі , який знаходиться в рівновазі при температурі Т , то електрон останнє зіткнення якого відбулось в точці x', в середньому має теплову енергію е(T[x']). Електрони, що приходять в точку х з тої сторони, де температура вища, відчули останнє зіткнення в середньому в точці x+vф і тому несуть в розрахунку на один електрон теплову енергію е(T[x-vф]). Тому їх внесок в густину теплового потоку рівний добутку числа таких електронів в одиниці об’єму р/2 на їх швидкість v і на їх енергію , тобто (р/2)v е(T[x-vф]).. Електрони, що прибувають в точку х з тої сторони, де температура нижча дають внесок (р/2)(-v)е(T[x-vф])., оскільки рухаються від великих значень х в напрямку менших. Складання двох цих членів дає вираз:

Jq=Ѕnv[е(T[x-vф])]-е(T[x-vф]) (42)

якщо зміна температури на відстані довжини вільного пробігу l=vф дуже мала, то можна розкласти отриманий вираз в ряд поблизу точки х, тоді в лінійному наближенні отримаємо:

j4=nv2ф(dе/dt)(-dT/dx) (43)

Щоб перейти в цій формулі до трьохвимірного випадку, необхідно тільки замінити v на vx - проекцією швидкості електрона в напрямку х - і привести усереднення по всіх можливим напрямкам швидкості. Оскільки

‹v2x›=‹v2y›=‹v2z›=v2/3

і

ndе/dT=(N/V)( dе/dT )= ( dE/dT )/V=Cv

де Cv - електронна питома теплоємність, тоді маємо:

j4=(1/3) v2ф Cv(-ЎT) (44)

або

ч=(1/3) v2ф Cv =(1/3) lv Cv (45)

де v2 - середній квадрат швидкості електрона.

Виходячи із формули (1.51) і поділивши коефіцієнт електропровідності у=ne2ф/m можна отримати ще один вираз:

ч/у=(1/3)Cv mv2 /ne2 (46)

Відповідно, що при розрахунках електронної питомої теплоємності і середньоквадратичної швидкості Друде скористався законами класичного ідеального газу. Тому він фактично сказав, що теплоємність

Cv=(3/2)nkB , a (1/2)mv2 =(3/2)kBT

де kB - стала Больцмана. kB=1,38·10-16ерг/К.

В результаті отримаємо:

ч/у=(3/2)(kB/l)2 T (47)

Величина в правій частині рівності (47) залежить лише від фундаментальних сталих kB