Реферат з фізики

Термодинамічні властивості газу вільних електронів

1. Вступ

2. Властивості електронного газу в основному стані.

3. Термодинамічні властивості газу вільних електронів.

4. Розподіл Фермі-Дірака.

5. Застосування розподілу Фермі-Дірака.

6. Зоммерфельдівська теорія провідності в металах.

7. Термо-електрорушійна сила.

8. Недоліки моделі вільних електронів.

9. Основні припущення.

1. Вступ

В часи Друде, а потім і протягом багатьох років цілком розумним здавалося припущення, що розподіл електронів за швидкостями співпадає з розподілом у звичайному класичному газі з концентрацією n-N/V і описується в стані рівноваги при температурі T формулою Максвела-Больцмана. За таким припущенням число електронів в одиниці об’єму, швидкості яких лежать в інтервалі dV з центром V дорівнює fB(V)dV, де:

fB(V)=n(m/2рkBT)3/2e-mvv/2kT (1).

З цього видно, що електрони мають давати великий вклад в теплоємність металу, який дорівнює 3/2·kB на один електрон. Проте такий вклад помічений не був.

На протязі чверті століття цей парадокс викликав сумніви в справедливості моделі Друде, які розсіялись лише після створення квантової теорії і признання того факту, що для електронів в силу принципу заборони Паулі розподіл Максвела-Больцмана має бути замінений розподілом Фермі-Дірака:

f(V)=((m/h)3/4р3)(1/(exp((mv2/2-kBT0)/ kBT)-1)) (2).

Тут h- стала Планка, поділена на 2р, а T0- температура, що визначається з формули T=0,01T0 і зазвичай дорівнює десяткам тисяч градусів.

n=? f(V)dV (3).

При температурі нижче 103К і при електронних концентраціях, характерних для металів, розподіл Фермі-Дірака надзвичайно сильно відрізняється від розподілу Максвела-Больцмана.

Зомерфельд застосував принцип заборони Паулі до вільного електронного газу в металах. Модель Зомерфельда являє собою модель класичного електронного газу Друде, але розподіл електронів описується статистикою Фермі-Дірака, а не Максвела-Больцмана.

2. Властивості електронного газу в основному стані.

Нам необхідно розрахувати властивості основного стану системи із N електронів, що знаходяться в об’ємі V. Оскільки електрони не взаємодіють один з одним, основний стан цієї системи можна знайти вичисливши спочатку рівні енергії окремого електрона в об’ємі V і заповнюючи потім всі рівні знизу вверх у відповідності з принципом Паулі, який забороняє двом електронам одночасно займати один електронний рівень.

Для опису окремого електрона необхідно знати його хвильову функцію Ш(r) і вказати, який напрям має спін. Згідно СРШ маємо:

-h/2m(? 2 / ? x2+ ? 2 / ? y2+? 2 / ? z 2)Ш(r)= -h/2mЎ2Ш(r)=еШ(r) (4).

Оскільки електрон рухається в металі об’ємом V, то вводячи граничні умови приймемо, що в нас є куб зі стороною L=V 1/3. При граничних умовах

Ш(x+L)=Ш(x), тому для куба маємо:

Ш(x,y,z+L)=Ш(x,y,z)

Ш(x,y+L,z)=Ш(x,y,z) (5).

Ш(x+L,y,z)=Ш(x,y,z)

Співвідношення (5) називаються граничними умовами Борна-Кармана.

Знайдемо розв’язок, що задовольняє граничні умови (5). Розв’язок (4), якщо знехтувати граничними умовами має вигляд:

Шk(r)=eikr/vV (6),

при цьому:

е(k)=hk2/2m (7),

де k- будь-який вектор, який не залежить від просторових координат. В (6) ми вибрали нормований множник так, щоб ймовірність знаходження електрона будь-де по всьому об’єму V дорівнювала одиниці:

1=?drШ(r)|2 (8).

Хвильова функція Шk(r) являє собою відповідну функцію оператора імпульсу:

p=(h/i)( ?/?r)= (h/i)Ў ( px=(h/i)( ? / ?x), py=(h/i)( ? / ?y), pz=(h/i)( ? / ?z) ) (9), 

5. Застосування розподілу Фермі-Дірака.

В газі вільних і незалежних електронів одно електронні рівні описуються хвильовим вектором k і спіновим числом s: енергії рівнів не залежать від s (при відсутності магнітного поля ) і визначаються виразом:

E(k)=h2k2/2m (1)

В основному стані зайняті тільки ті рівні, в яких E(k)?EF, тому в основному стані функція розподілу повинна мати вигляд:

fkS={1, E(k)<EF ; 0, E(k)>EF (2)

З іншої сторони в границі T>0 розподіл Фермі-Дірака набере вигляду

limT>0fkS={1, E(k)<м ; 0, E(k)>м (3)

Щоб ці два вирази були сумісні, повинна виконуватися умова:

limT>0 м=EF (4)

Одним з найбільш важливих прикладів застосування статистики Фермі-Дірака може служити розрахунок електронного вкладу в питому теплоємність металу при постійному об’ємі

cv=(T/V)(?S/?T)v=(?U/?T)v , (5)

u=U/V

В наближенні незалежних електронів внутрішня енергія U рівна сумі добутків E(k) на середнє число електронів на даному рівні, взятій по всіх одно електронних рівнях

U=2?kE(k)f(E(k)) (6)

Щоб підкреслити, що fk залежить від k тільки через енергію електрона E(k) , ми ввели функцію Фермі 

f(E)= 1/(exp((E-м)/kST)+1) (7)

Якщо поділити дві частини рівності (6) на об’єм V, використовуючи рівність

limV>?(1/V)?kF(k)=?dkF(k)/8р3,

то густину енергії u=U/V можна записати у вигляді

u=?dkE(k)f(E(k))/4р3 (8)

Розділивши на V також і дві частини співвідношення

N=?i1/(exp((E-м)/kST)+1),

можна доповнити (8) виразом для густини електронів n=N/V і використати його для виключення хімічного потенціалу

n=? f(E(k))dk/4р3 (9)

При розрахунку типу (8) і (9) , які мають форму

? F(E(k))dk/4р3 (10)

часто використовують те, що підінтегральний вираз залежить від k лише через енергію електрона E=h2k2/2m. Переходячи в інтегралі до сферичних координат і замінюючи k на E, маємо

? F(E(k))dk/4р3=?0,?k2dk F(E(k))/ р2=?-?,?dEg(E)F(E) (11)

Тут

g(E)={(m/h2р2 )v2mE/ h2 , E>0; 0, E<0.

Оскільки інтеграл (10) являє границю суми

(1/V)?ksF(E(k)),

із виразу слідує, що

g(E)dE=(1/V)l (13)

де l- число одно електронних рівнів в інтервалі енергій від E до E+dE.

g(E) називають густиною рівнів в розрахунку на одиницю об’єму (або густиною рівнів). g зручно записати у виді:

g(E)={3n/2EF(E/EF)1/2 , E>0; 0, E<0 (14)

Особливо важливо знати числове значення густини рівнів біля поверхні Фермі, яке може бути представлене в двох еквівалентних формах, що випливають з співвідношень (12) і (14)  

g(EF)=mkF/h2р2 (15)

або

g(EF)= 3n/2EF (16)

Використовуючи введені позначення, запишемо вирази (8) і (9) наступним чином:

U==?-?,?dEg(E)F(E) (17) і

n=?-?,?dEg(E)f(E) (18)

Якщо визначити густину рівнів з допомогою виразу (13), то ми отримаємо для конкретного випадку, а вирази (17) і (18) справедливі для будь-якої кількості невзаємодіючих (незалежних) електронів.

Інтеграли (17) і (18) мають складну структуру, але їх можна розкласти в ряд тому, що при всіх температурах, які представляють