Функція f(E) відрізняється від свого значення при нульовій температурі лише в малій області шириною порядку kBT поблизу м.

Тому відмінність інтегралів типу

?-?,?H(E)f(E)dE

від їх значень для нульової температури  

?-?,EFH(E)dE 

повністю визначається видом функції H(E) поблизу точки E=м. Якщо H(E) міняється мало в області шириною порядку kBT поблизу точки м, то температурну залежність інтеграла можна знайти, замінивши функціюH(E) на суму декількох перших членів її розкладу в ряд Тейлора при E=м: 

H(E)=?n=0,? (dn/dEn) H(E)|E-м(E-м)n/n! (19)

Результат має форму ряду

?-?,?H(E)f(E)dE=?-?,?H(E) dE+?n=1,? (kBT)2nan(d2n-1/dE2n-1)H(E)|E-м (20)

який називається розкладом Зоммерфельда.

an- безрозмірна стала порядку одиниці.

Як правило, з всієї суми (20) залишають перший і (дуже рідко) другий члени. Вони мають наступний вигляд:

?-?,?H(E)f(E)dE=?-?,?H(E) dE+р2/6(kBT)2H’(м)+7р4/360(kBT)4H’’’(м)+ O(kBT/м)6 (21)

Щоб розрахувати питому теплоємність металу при температурах, малих порівняно з TF, скористуємося розкладом Зоммерфельда (21) і застосуємо його до інтегралів (17) і (18) для густини енергії і густини числа електронів:

U=?0,мEg(E)dE+ р2/6(kBT)2[мg’(м)+g(м)+ O(T)4 ] (22) 

n=?0,мg(E)dE+ р2/6(kBT)2g’(м)+ O(T)4 (23)

З виразу (23) слідує, що м відрізняється від свого значення EF при T=0 лише на величину порядку T2. Тому з точністю до T2 можна записати

?0,мH(E)dE=?0,EFH(E)dE+(м-EF)H(EF) (24)

Аналогічним чином у виразах(22) і (23) отримаємо

U=?0,EFEg(E)dE+ EF ((м-EF)g(EF)+ р2/6(kBT)2g’(EF))+ р2/6(kBT)2g(EF) + O(T)4 (25) 

n=?0,EFg(E)dE+((м-EF)g(EF)+ р2/6(kBT)2g’(EF))+ O(T)4 (26)

Перші члени в правих частинах, незалежні від температури, являють значення u і nдля основного стану. Оскільки ми розраховуємо питому теплоємність при постійній густині, то величина n не залежить від температури і вираз (26) зводиться до співвідношення:

0=(м-EF)g(EF)+ р2/6(kBT)2g’(EF) (27)

яке визначає відхилення хімічного потенціалум відEF

м= EF- р2/6(kBT)2g’(EF) /g(EF) (28)

Оскільки для вільних електронів густина рівнів g(E) пропорційна E1/2 (див. (14)), отримаємо  

м= EF(1-1/3(рkBT/2EF)2) (29)

тобто, зміна м має порядок T2 і складає близько 0,01% навіть при кімнатних температурах.

Враховуючи (27) член в фігурних дужках у виразі (25) перетворюється в нуль, тому вираз для густини теплової енергії при постійній густині електронів набуває більш простої форми

u=u0+ р2/6(kBT)2g(EF) (30)

де u0- густина енергії в основному стані.

Отже, питома теплоємність електронного газу:

cv=(?U/?T)n=р2k2Tg(EF)/3 (31)

і для вільних електронів (див.(16)) маємо

cv=(р2/2)(kBT/EF)nkB (32)

Порівнюючи цей вираз із класичним результатом для ідеального газу (cv=3/2·kB), ми бачимо, що статистика Фермі-Дірака приводить до пониження питомої теплоємності за рахунок множника (р2/3)(kBT/EF), який пропорційний температурі і має порядок 10-2 Цим пояснюється відсутність спостерігаю чого вкладу електронних ступенів вільності в питому теплоємність металу при кімнатній температурі.

Для грубих обрахунків питомої теплоємності досить проаналізувати залежність від температури функції Фермі.

Передбачення лінійного вкладу в питому теплоємність являє собою одне з важливих наслідків статистики Фермі-Дірака. Воно дозволяє ще раз провірити теорію електронного газу в металах, при умові, що ступені вільності відмінні від електронних, не дають порівняльного або великого вкладу. В дійсності виявляється, що при високих температурах основний вклад в теплоємність вносять інші ступені вільності. Але при температурах набагато нижчих від кімнатної їх вклад падає пропорційно кубу температури і при дуже низьких температурах стає нижче електронного, який зменшується лінійно з температурою Т. Щоб розділити ці два вклади, зазвичай будують криву залежності cv/T від T2. Дійсно, при врахуванні електронного і іонного вкладів теплоємність при низьких температурах становить

cv=гT+AT3 (33)

тоді

cv/T=г+AT2 (34)

Тому можна знайти г.

Значення питомої теплоємності вказують в Дж/мольК.

Щоб знайти теплоємність одного моля c, необхідно помножити віднесену до одиниці об’єму питому теплоємність cv на ZNA/n

c= р2ZRkBTg(EF)/3n (35)

де

R=kBNA=8,314 Дж/моль К

Використовуючи вираз (16) для густини рівнів вільних електронів і вичислене вище значення EF/kB, отримаємо, що вклад вільних електронів в теплоємність одного моля дорівнює c=гT, де

г= р2ZR/2TF=0,169Z(rS /a0)210-4 калмоль-1 К-2 (36).   

6. Зоммерфельдівська теорія провідності в металах. 

Щоб знайти розподіл по швидкостях для електронів у металі розглянемо малий елемент об’єму dk, поблизу точки k в k-просторі. З врахуванням дворазового спінового виродження число одно електронних рівнів в цьому елементі об’єму дорівнює

(V/4р3)dk (37)

Ймовірність заповнення кожного рівня є f(E(k)), тому повне число електронів в елементі об’єму k-простору дорівнює  

Vf(E(k))dk/4р3 , E(k)=h2k2/2m (38)

Оскільки швидкість вільного електрона з хвильовим вектором k дорівнює v=hk/m, то число електронів в елементі об’єму dv поблизу v співпадає з числом електронів в об’ємі dk=(m/h)3dV поблизу точки k=mv/h. Отже, повне число електронів в розрахунку на одиницю об’єму в реальному просторі, що містяться в елементі простору dv швидкостей поблизу v, дорівнює

f(v)dv (39),

де

f(v)=((m/h)3/4р3)(1/(exp((mv2/2-м)/kBT)+1)) (40)

Зоммерфельд заново розглянув модель Друде і замінив всюди класичний розподіл по швидкостях Максвела-Больцмана на розподіл Фермі-Дірака.

Класичне описання руху електрона можливе в тому випадку, коли його координати і імпульс можуть бути виміряні з необхідною точністю без порушення принципу невизначеності.

Типовий електрон в металі має імпульс порядку hkF, тому, щоб класичний опис був хороший, невизначеність імпульсу електрона Дp повинна бути малою порівняно з hkF. Оскільки із формули

kF=(9р/4)1/3/rS=1,92/rS 

слідує, що kF пропорційне 1/rS, невизначеність повинна задовольняти умову:

?x ~ h/?p >> (1/kF) ~ rS (41)

де rS має порядок середньої відстані між електронами, тобто декілька ангстрем. Тому класичний опис неможливий, коли розглядаються електрони, які локалізовані на відстанях порядку міжатомних. Але електрони провідності в металах не прив’язані до конкретного іона, а вільно рухаються по об’єму металу. В більшості випадків немає необхідності, в макроскопічних прикладах, задавати їх координати з точністю до 10-8см. В моделі Друде знання координат електрона важливо в двох відношеннях:

1)    коли до металу прикладене змінне електромагнітне поле або градієнт температури, ми повинні вказати координати електрона з точністю до відстаней, малих порівняно з характерним масштабом л, на якій