2)    В моделі Друде передбачається, що електрони можуть перебувати на відстанях набагато менших від довжини вільного пробігу. Тому слід розглядати електрони з довжиною вільного пробігу >10 ангстрем.

Існує широкий клас явищ, коли поведінку окремого електрона можна описати з допомогою класичної механіки. Але чи можна описати так поведінку N таких електронів.

Розглянемо систему з N електронів, не взаємодіючих один з одним і піддаючи їх дії електромагнітного поля, що залежить як від просторових координат, так і від часу. Нехай в нульовий момент часу шляхом заповнення деяких N одно електронних рівнів Ш1(0),…,ШN(0) створений деякий N-електронний стан. Нехай Шj(t), той рівень, в якому за час t під дією електромагнітного поля перетворився б рівень Шj(0), якщо був би один електрон, що знаходився в нульовий момент часу на рівні Шj(0). Тоді в момент часу t відповідний N-електронний стан буде утворений заповненням N-одноелектронних рівнів Ш1(t),…,ШN(t). Таким чином, щоб повністю визначити динамічну поведінку системи із N не взаємодіючих електронів, достатньо розглянути N незалежних одноелектронних задач.

Використання статистики Фермі-Дірака впливає лише на ті результати моделі Друде, для отримання яких необхідно знати розподіл електронів за швидкостями. Якщо величина 1/ф, якахарактеризує частоту зіткнень електрона, не залежить від його енергії, то зміна функції розподілу впливає лише на визначення довжинивільного пробігу електрона, а також на розрахунок теплопровідності і термо-е.р.с.

Середня довжина вільного пробігу:

l=92 Е(rS/a0)2/см (42)

Питомий опір см при кімнатній температурі 1-100мкОм·см, а величина

rS /a0=2ч6 навіть при кімнатній температурі д.с.п.е. ~100A0.

Теплопровідність

ч=1/3·v2фcv (43)

Правильна виличина питомої теплоємності (32) менша від отриманого Друде класичного значення, яка відмінна від неї на множник kBT/EF. Для правильної оцінки величини v2 потрібно взяти не середній квадрат класичної теплової швидкості, що має порядок kBT/m , а значення v2F=2EF/m, що перевищує класичну величину в EF/kBT разів. Підставляючи всі ці величини в (43) і виражаючи час релаксації через провідність отримаємо

ч/уT=(р2/3)(kB/e)2=2,44*10-8 Вт Ом/К2 (44)

7. Термоелектрорушійна сила.

Підставивши питому теплоємність з формули (32) в формулу Q=-cv/3ne отримаємо

Q=- (р2/6)(kB/e)(kBT/EF)=-1,42(kBT/EF)*10-4 B/K (45)

Остання величина менша на множник О(kBT/EF) ~0,01 при кімнатній температурі, від оцінки Друде.

Інші властивості не змінюються, якщо статистику Максвелла-Больцмана замінити статистикою Фермі-Дірака.

Але ці висновки не справджуються, якщо час релаксації залежить від енергії. Хоч ця залежність значно на властивості металів не впливає.

8. Недоліки моделі вільних електронів.

1.    Помилки в коефіцієнтах переносу, що дає модель вільних електронів. а) Коефіцієнт Холла.теорія вільних електронів показує, що коефіцієнт Холла при густинах електронів, типових для металу, має постійну величину RH=-1/nec , щоне залежить від температури, часу релаксації і напруженості магнітного поля.

Хоч одержані експериментально значення коефіцієнта Холла мають дійснотакий порядок величини, але вони залежать і від напруженості магнітного поля і від температури. Лише для лужних металів коефіцієнт Холла подібний до того який в теорії вільних електронів.

б) Магнітоопір. Із торії вільних електронів слідує, що опір провідника в напрямку перпендикулярному до постійного магнітного поля, не повинен залежати від напруженості поля. Насправді така залежність має місце. В деяких випадках опір може зростати необмеженно при збільшенні поля.

в) Термо-е.р.с. знак термо-е.р.с., як і знак постійної Холла, не завжди співпадає з передбаченням теорії вільних електронів. Лише співпадає порядок величини.

г) Закон Відемана-Франца. Виконується добре лише при високих (кімнатних) і низьких (кілька кельвінів) температурах. В проміжних областях температур він не справедливий, і величина ч/уT залежить від температури.

д) Залежність статичної електропровідності від температури. Теорія вільних електронів не може пояснити температурну залежність статичної електропровідності. Її доводиться штучно вводити в теорію як приущення про незалежність часу релаксації від температури.

е) Залежність статичної електропровідності від напрямку. В деяких металах статична електропровідність зразка залежить від його орієнтації по відношенню до поля. В таких зразках j може бути і не паралельний полю.

є) Високотемпературна провідність. Оптичні властивості металів настільки складно залежать від частоти, що неможливо навіть отримати цю залежність виходячи з простої діелектричної проникності, до якої приводить модель вільних електронів.

2. Помилки в термодинамічних результатах.

а) лінійний член в теплоємності.

Теорія Зоммерфельда достатньо добре пояснює величину лінійного по Т члена в низькотемпературній теплоємності для лужних ме5талів, трохи гірше для благородних і погано для перехідних.

б) кубічний член в теплоємності.

Модель вільних електронів не містить нічого крім вільних електронів, тому вона не може пояснити чому електронний вклад в теплоємність повинен переважати тільки при низьких температурах. Між тим експерименти однозначно вказують, що поправка до лінійногочлена, пропорційна T3 , зумовлена чимось іншим, оскільки вклад електронів в член з T3, що отримується в простій теорії Зоммерфельда, має неправильний знак і в мільйони разів менший від того, що спостерігається.

в) стискання металів. Хоч для багатьох металів теорія вільних електронів добре передбачає модуль всесвітнього стиску, але зрозуміло, що при виводі більш точного стану металу необхідно більше уваги приділяти іонам і взаємодією між електронами.

3. Фундаментальні труднощі.

а) Чим визначається число електронів провідності?

Ми припустили, що всі валентні електрони стають електронами провідності,

тоді як всі інші залишаються зв’язаними з іонами. Ми не задумувалися над

тим, чому це справедливо і як слід поступати з тими елементами, які, подібно залізу, мають декілька різних валентностей.

б) чому деякі елементи не являються металами?

Існування діелектриків свідчить про те, що є більш серйозні недоліки використовуваного нами емпіричного правила визначення числа електронів провідності. Чому бор є діелектриком, а його сусід в періодичній таблиці алюміній провідником. Чому вісмут і сурма – погані провідники...

9. Основні припущення.

Щоб просунутися дальше у