“Але зовсім невірно, ніби в чистій математиці розум має справу тільки з продуктами своєї власної творчості і уяви. Поняття числа і фігури взято не звідки-небуть, а тільки з дійсного світу. Десять пальців, на яких люди вчилися лічити, тобто робити першу арифметичну операцію, являють собою все, що завгодно, тільки не продукт вільної творчості розуму. Щоб лічити треба мати не тільки предмети, які підлягають лічбі, але й мати вже здібність абстрагування при розгляді цих предметів від усіх інших їх властивостей, крім числа, а це здібність є результат довгого історичного розвитку, що спирається на досвід. Як поняття числа, так і поняття фігури, взяті виключно із зовнішнього світу, а не виникли в голові з чистого мислення.повиння були існувати речі, які мають певну форму, і ці форми повинні були порівнюватись, перш ніж можна було дійти до поняття фігури. Чиста математика має своїм обєктом просторові форми і кількісні відношення дійсного світу, отже дуже реальний матеріал. Той факт, що цей матеріал набирає надзвичайно абстрактної форми, може лише слабо затушувати його походження із зовнішнього світу. Але щоб бути спроможним дослідити ці форми і віношення у чистому вигляді, треба цілком відокремити їх від їхнього змісту, залишити цей останній осторонь, як щось неістотне; таким шляхом ми дістаємо точки, позбавлені вимірів, лінії, позбавлені товщини і ширини, різні а і в, х і у, постійні і змінні величини, і лише в самому кінці ми доходимо до продуктів вільної творчості і уяви самого розуму...”

Тепер існує ілий ряд ідеалістичних шкіл і напрямів (логінізм, інтуіціонізм, формалізм, логічний позитивізм та ін.), які висувають свої теорії про суть сучасної математики. Для обслуговування їх вони наводять найрізноманітніші аргументи, які, до речі, суперечать один одному, але всі намагаються “довести”, що положення чистої математики начебто нічого не свідчать про дійсність і що ніяке твердження будь-якої математичної теорії не доводить відносно явищ, які відбуваються в дійсності.

Це зовсім неправильно. Хоч у сучасній математиці і розглядаються деякі форми і відношення, що безпосередньо не відбражають відомих просторових форм і кількісних відношень матеріального світу, а тільки аналогічні до них (n–вимірні простори, неевклідові геометрії), проте, по-перше, вони далеко не вичерпують сучасної математики, а по-друге, розглядають ці абстрактні форми і відношеннядля того, щоб глибше вивчити просторові форми і кількісні відношення матеріального світу.

Зрозуміло, що учням неповної середньої школи передчосно говорити про матеріалістичні та ідеалістичні погляди про математику, критикувати ідеалістив. У цих класах досить наголосити на практичному походженні математики. Учнів треба переконати, що математика виникла і розвивається для задоволення практичних потреб людни. Наприклад, якщо учитель вводить поняття дробу, то він може зауважити, що ввести це поняття про геометрію і про дроби людей примусила їх діяльність. Про поняття геометрії учительповинен наголосити на практичному походженні цієї науки. Такі історичні екскурси і зауваження про практитчне походження математики зацікавлюють учнів, поглиблюють їх знання, а разом з тим сприяють вихованню в них матеріалістичного світогляду.

Слід використовувати уроки математики для виховання учнів. На прикладах з історії математики треба пояснити, як релігія стримувала розвиток науки, розповісти, що священники протягом багатьох століть забороняли займатись математичними дослідженнями. Саме тому після Vст.н.е. в Європі більше тисячі років математика зовсім не розвивалась і перебувала на значно нижчому рівні, ніж в античну епоху.

При нагоді учитель математики повинен розказати учням, як служителі церкви розправлялися з вченими-математиками: убили Гіпатію Александрійську, спалили на вогнищі Паоло Вельмеса, організували вбивство Улугбека, засудили до спалення на вогнищі Вієта.

Вивчення математики може сприяи вихованню почуття значимості математики. Учням треба показати, що в розвиток математики внесли великий вклад відомі всьому світу вчені – М.І. Лобачевський, П.Л. Чебишов, С.В. Ковалевська, О.М. Ляпунов та інші українські математики – М.В. Остроградський, Г.Ф. Вороний, М.Ф. Кравчук та інші.

Ми по праву можемо пишатися нашими математиками! Насамперед такими як М.М. Боголюбов, І.М. Виноградов, В.М. Глушков, Л.В. Канторгович. М.В. Келдиш, А.М. Колмогоров, М.О. Лаврентьєв, А.І. Мальцев, Л.С. Потрягін.

Зазначимо також, що добре організовані уроки математики привчають учнів глибоко і всебічно продумувати розглядувані питання, давати на них чіткі однозначні відповіді, а не відвертатись від таких відповідей бездоказовими розмовами, математика примушує підкорятись тільки аргументам і факторам, виховує інтелектуальну чесність і правдивість. У процесі навчання математиці є можливість приховувати в учнів акуратність, увагу, культуру письма і усної мови тощо. Всі ці можливості також треба використовувати.

Іноді молоді вчителі думають, що для виховання учнів придатні тільки ті уроки, на яких є можливість рганізувати “виховний момент”. Це неправильно. На кожному уроці можна і треба виховуватив учнях культуру мови, логічне мислення.

Кожен хороший урок виховує учнів, навіть якщо в ньому немає ніяких “виховних моментів”. Якщо учні слухають поясненя учителя, затамувавши подих, усе це пояснення – суцільний виховний момент.

Якщо учитель навчає учнів цінувати кожну вилину, уміло організовує роботу, то він також виховує учнів.