Практичне заняття №1

Задача 1. Закон руху точки відносно системи відліку S має вигляд: ; ; , де , і - постійні коефіцієнти. Визначити траєкторію, лінійну і секторну швидкості а також прискорення точки відносно тієї ж системи відліку.

Розв’язок: Диференціюючи по часу задані функції , і отримаємо проекції швидкості і прискорення точки на декартові осі

; ;

; ;

Виражаючи проекції прискорення через проекції радіус-вектора, переконаємося в тому, ??????????????????????????????

; ; , тобто,

Секторна швидкість згідно визначення:

тобто секторна швидкість не залежить від часу .

Нарешті, виключаючи із функцій і отримаємо рівняння траєкторії

; . |

Отже, точка рухається з постійною секторною швидкістю по еліпсу, який лежить в площині z=0, причому, прискорення весь час напрямлене до центру еліпса. (Мал. 1.)

Задача 2.

Кривошип ON довжиною a обертається навколо вісі, перпендикулярної до площини малюнка 2 і яка проходить через точку О. Кут між нерухомою віссю Ох і кривошипом змінюється пропорційно до часу: . Скласти рівняння руху точки N в декартовій системі. Визначити рівняння її траєкторії. Визначити час одного повного оберту точки N в момент часу коли обидві координати точки рівні між собою. |

Розв’язок: Для складання рівняння руху точки N потрібно виразити її координати як функції часу. З малюнку заходимо координати і точки :

; або

. Це і буде шуканим рівнянням руху точки . Щоб знайти рівняння траекторії в аналітичній (явній) формі треба виключити із і

Тобто траекторія точки представлятиме собою коло радіуса з центром в початку координат.

Визначимо час одного повного оберту точки . Це є час , протягом якого кут зміниться на радіан.

, звідки

Для знаходження початкового положення точки необхідно в рівнянні руху підставити значення . Тоді .

Визначимо момент часу, коли обидві координати точки рівні між собою і , тобто , звідки , де . А це значить, що моменти часу, координати точки рівні між собою будуть

Задача 3.

Циліндричні координати точки при її русі відносно деякої системи відліку змінюються по закону: .