перевищує довжини a даного відрізка, є куля з центром у точці О радіуса a.
3. Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від двох даних точок А і В, є площина , яка проходить через середину С відрізка АВ перпендикулярно до нього.
4. Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від трьох неколінеарних точок А, В, С, є пряма, яка проходить через точку О – центр кола, описаного навколо трикутника АВС, перпендикулярно до площини трикутника АВС.
5. Геометричне місце точок, віддалених від даної прямої l на відстань a, є кругова циліндрична поверхня радіуса a з віссю симетрії l.
6. Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних прямих a, b, є площина ?, якщо a||b, або дві взаємно перпендикулярні щини ?, ?, які проходять через бісектриси вертикальних кутів, утворених прямими a і b, якщо a x b = 0, або гіперболічний параболоїд, якщо a і b мимобіжні.
7. Геометричне місце точок, рівновіддалених від трьох прямих a,b,c, які лежать в одній площині ?? є: пряма m, яка проходить через точку 0 = a x b x с і перпендикулярна до площини ?? дві прямі m,n, які перпендикулярні до площини ??і проходять через точки M,N перетину бісектрис кутів, утворених непаралельними прямими; якщо a||b, с перетинає їх; чотири прямі k,l,m,n, перпендикулярні до площини ???в точках K,L,M,N – центрах вписаного і зовні вписаних кіл трикутника АВС (А = b x c, B = a x c, C = a x b), або , якщо прямі a,b,с паралельні.
Зауваження. Якщо три прямі не лежать в одній площині, то можливі випадки, які на площині не мають аналогів.
а) Прямі перетинаються в одній точці і не лежать в одній площині.
Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від трьох прямих a, b, c, що перетинаються в одній точці і не належать одній площині, є чотири прямі, які проходять через цю точку.
Для побудови цих прямих розглянемо геометричне місце точок, рівновіддалених від прямих a, b. Це будуть дві цілком визначені площини , в (г.м.т. 6). Аналогічно геометричне місце точок, рівновіддалених від прямих b, c, будуть площини г, д (г.м.т. 6); від прямих a, c – площини і (г.м.т.6). Площини б, в перетинаються з площинами г, д, і по чотирьом прямим k, l, m i n, які проходять через точку перетину трьох даних прямих a, b, c. Ці чотири прямі є геометричним місцем точок, рівновіддалених від прямих а, b, c,які перетинаються в одній точці і не лежать в одній площині.
б) Прямі a, b, c паралельні між собою і не лежать в одній площині.
Геометричне місце точок, кожна з яких рівновіддалена від трьох паралельних прямих, які не лежать в одній площині, є пряма m, паралельна до даних.
Ця пряма спільна для трьох площин, які будуються як г.м.т.6 для пар прямих: a, c; b, c; a, b. Зрозуміло, для одержання прямої m нема необхідності будувати три площини, достатньо побудувати дві з них.
Природньо розглянути у просторі геометричні місця точок, віддалених на відстань a від даної площини, рівновіддалених від двох, від трьох даних площин.
8. Геометричне місце точок, кожна з яких віддалена від даної площини б на відстань a, є дві площини г і в, паралельні до б і віддалені від неї на відстань a.
Існують інші розташування прямих у просторі: дві прямі перетинаються, а третя мимобіжна до них; дві прямі паралельні, третя мимобіжна до них; всі три прямі попарно мимобіжні. В цих ипадках ГМТ, рівновіддалених від трьох прямих є перетином гіперболічних параболоїдів, утворених парами мимобіжних прямих.
9. Геометричне місце точок, рівновіддалених від двох даних площин б і в, є площина ж, якщо дані площини паралельні, або дві площини г, д, якщо дані площини перетинаються, причому:
- ж – площина, паралельна до площин б та в і ділить відстань між ними
навпіл.
- г, д – перпендикулярні між собою бісекторні площини двогранних кутів, утворених площинами б та в.
10. Геометричне місце точок, рівновіддалених від трьох площин, є: пряма, або дві прямі, або чотири паралельні прямі, або чотири прямі, що перетинаються, або :
одна пряма буде у випадку, коли три площини б, в, г мають спільну пряму a. Шуканим геометричним місцем точок є пряма a;
якщо дві площини б, в паралельні, а третя г їх перетинає, то шукане геометричне місце точок, рівновіддалених від цих площин, є дві прямі a і b, паралельні до них, які утворюються у перетині бісекторних площин двогранних кутів, утворених парами площин: ?????; ?, ? і належать площині ?????????рівновіддаленій від площин ? і ?;
- якщо площини б, в, г попарно перетинаються по паралельним прямим, то геометричне місце точок рівновіддалених від цих площин, є чотири прямі a, b, c, d, паралельні до ліній їх перетину (мал. 7), які є перетином бісекторних площин двогранних кутів, утворених парами площин: ?????; ?????;????, ??;
- у випадку, коли площини б, в, г перетинаються в одній точці, шуканим геометричним місцем будуть чотири прямі, що проходять через точку перетину даних площин і належать бісекторним площинам двогранних кутів, утворених попарно даними площинами;
- порожня множина буде у випадку, коли площини б, в, г паралельні між собою.
Розглянемо порівняння кривих другого порядку і деяких поверхонь обертання