На площині | У просторі

1 | 2

11. Геометричне місце точок, з яких даний відрізок АВ видно під прямим кутом, є коло з діаметром АВ без точок А, В.

12. Геометричне місце точок, з яких даний відрізок АВ видно під кутом , є два сегменти, що містять даний кут і спираються на даний відрізок АВ без точок А, В.

13. Геометричне місце точок площини, для кожної з яких сума відстаней від двох даних точок F1 і F2 цієї ж площини є величина стала, більша відстані між F1 і F2, називається еліпсом.

14. Геометричне місце точок площини, для кожної з яких абсолютна величина різниці відстаней від двох даних точок F1 і F2 цієї ж площини є величина стала, менша відстані між F1 і F2, називається гіперболою.

15. Геометричне місце точок площини, для кожної з яких відстань до даної точки F дорівнює відстані до даної прямої d, яка не проходить через точку F, називається параболою.

16. Геометричне місце точок площини, для кожної з яких різниця квадратів відстаней від двох даних точок А та В цієї ж площини є величина стала і дорівнює квадрату довжини m даного відрізка, є перпендикуляр до відрізка АВ в точці D, віддалений від середини О відрізка АВ = a на відстань .

17. Геометричне місце точок площини, для кожної з яких сума квадратів відстаней від двох даних точок А та В цієї ж площини є величина стала і дорівнює квадрату довжини m даного відрізка, є коло з центром в точці О (середина відрізка АВ = a) і

радіусом r = . |

11. Геометричне місце точок, з яких даний відрізок АВ видно під прямим кутом, є сфера з діаметром АВ без точок А, В.

12. Геометричне місце точок, з яких даний відрізок АВ видно під кутом , є торова поверхня, одержана від обертання сегмента, що містить даний кут і спирається на даний відрізок АВ, навколо прямої АВ без точок А, В.

13. Геометричне місце точок простору, для кожної з яких сума відстаней від двох даних точок F1 і F2 простору є величина стала, більша відстані між F1 і F2, називається еліпсоїдом обертання.

14. Геометричне місце точок простору, для кожної з яких абсолютна величина різниці відстаней від двох даних точок F1 і F2 простору є величина стала, менша відстані між F1 і F2, називається двопорожнинним гіперболоїдом обертання.

15. Геометричне місце точок простору, для кожної з яких відстань до даної точки F дорівнює відстані до даної площини , яка не проходить через точку F, називається параболоїдом обертання.

16. Геометричне місце точок простору, для кожної з яких різниця квадратів відстаней від двох даних точок А та В простору є величина стала і дорівнює квадрату довжини m даного відрізка, є площина, перпендикулярна до відрізка АВ в точці D, віддаленій від середини О відрізка АВ = a на відстань .

17. Геометричне місце точок простору, для кожної з яких сума квадратів відстаней від двох даних точок А та В простору є величина стала і дорівнює квадрату довжини m даного відрізка, є сфера з центром в точці О (середина відрізка АВ = a) і

радіусом r = .

Слід відмітити, що між формою геометричного місця точок на площині і в просторі у більшості випадків існує зв’язок, наведений у таблиці.

На площині | У просторі

Точка

Пряма

Дві паралельні прямі

Коло | Пряма

Площина

Циліндрична поверхня

Сфера

Нехай, наприклад, потрібно знайти геометричне місце точок, рівновіддалених від прямих, що містять сторони трикутника. На площині таких точок чотири (центри вписаного і зовні вписаних кіл).

Таблиця показує, що в просторі шукане геометричне місце точок є чотири прямі, причому ці прямі проходять через названі центри перпендикулярно до площини трикутника.

Зрозуміло, що встановивши форму геометричного місця точок на площині, за допомогою таблиці можна “прикинути”, яку форму має це геометричне місце точок у просторі. Потім обгрунтувати результати і одночасно уточнити розташування шуканого геометричного місця точок відносно даних точок і ліній.

Але не слід думати, що зроблена на основі таблиці прикидка завжди вірна. Таблиця не встановлює взаємно однозначної відповідності між формою геометричного місця на площині і в просторі, бо такої відповідності, взагалі кажучи, не існує. Є такі геометричні місця точок, які не змінюють форму в залежності від того, розглядаємо ми їх на площині чи в просторі. Наприклад, геометричне місце точок, сума відстаней яких від двох даних паралельних прямих мінімальна. У будь-якому випадку умові відповідають всі точки смуги площини, обмеженої даними прямими.

Порівнюючи геометричні місця точок, що відповідають певній умові, на площині і в просторі, бачимо, що між ними є схожість, але є й багато суттєвих відмінностей.

Геометричні місця точок у просторі можуть мати одну, дві чи більше властивостей. Якщо геометричне місце точок визначається однією умовою, що виражається рівністю, то воно є деяка поверхня, а коли ця умова виражається нерівністю, то маємо геометричне тіло.

Якщо геометричне місце визначається двома (трьома) рівностями, то воно складається з точок ліній, які є спільними для двох (трьох) поверхонь.

Іноді геометричне місце може містити в собі всі точки простору. Таким є, наприклад, геометричне місце прямих, кожна з яких рівновіддалена від двох даних точок А та В. Будь-яка пряма, паралельна АВ, або та, що проходить через