Ми розглядатимемо геометричні місця точок, які визначаються рівностями, тобто вони будуть певними поверхнями.

Порівняльна характеристика геометричних місць точок на площині і в просторі в аналітичному вигляді

Виберемо прямокутну декартову систему координат на площині (0, i, j) і в просторі (0, i, j, k) і розглянемо порівняльну характеристику геометричних місць точок на площині і в просторі в аналітичному вигляді.

18. Геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють будь-яке рівняння 1-го степеня відносно х, у, є пряма. | 18. Геометричне місце точок простору, координати яких задовольняють будь-яке рівняння 1-го степеня відносно х, у, z, є площина.

Наведемо з аналітичної геометрії приклади аналогічних рівнянь прямої в (0, i, j) і площини в (0, i, j, k).

1). Рівняння прямої, заданої точкою М0 і вектором нормалі n

a(x x0) + b(y – y0) = 0,

де M0(x0; y0) l, n(a; b) l.

2). Загальне рівняння прямої

aх + bу +c = 0,

де n(a; b) – вектор нормалі прямої.

3). Рівняння прямої “у відрізках на осях”: + = 1, де А(а;0), В(0;b) точки перетину прямої з осями координат.

4). Нормальне рівняння прямої

x cosб + y sinб p = 0,

де р – відстань від початку координат до прямої,

n0(cosб, sіnб) – одиничний вектор нормалі прямої.

19. Геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють рівняння + =1, є еліпс.

20. Геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють рівняння =1, є гіпербола.

21. Геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють рівняння 1, є гіпербола.

22. Геометричне місце точок площини, координати яких задовольняють рівняння у2 = 2рх, є парабола. |

1). Рівняння площини, заданої точкою М0 і вектором нормалі n

a(x x0) + b(y – y0) + c (z – z0) = 0,

де M0(x0; y0; z0) , n(a; b, c) .

2). Загальне рівняння площини

aх + bу +сz + d = 0,

де n(a;b;c) – вектор нормалі площини.

3). Рівняння площини “у відрізках на осях”: + + = 1, де А(а;0;0), В(0;b;0), С(0;0;с) точки перетину площини з осями координат.

4). Нормальне рівняння площини

x cos + y cosв + z cosг p = 0,

де р – відстань від початку координат до площини,

n0(cosб, cosв, cosг) – одиничний вектор нормалі площини.

19. Геометричне місце точок простору, координати яких задовольняють рівняння++=1, є еліпсоїд.

20. Геометричне місце точок простору, координати яких задовольняють рівняння +1, є двопорожнинний гіперболоїд.

21. Геометричне місце точок простору, координати яких задовольняють рівняння +=1, є однопорожнинний гіперболоїд.

22. Геометричне місце точок простору, координати яких задовольняють рівняння + = 2ру, є еліптичний параболоїд.

Цікавим є порівняння геометричних фігур на площині і в просторі, рівняння яких у системах координат (0, i, j), (0, i, j, k) автентичні.

На площині | У просторі

1 | 2

23. Ах + Ву + С = 0. Рівняння прямої загального положення, паралельної вектору a(В; А).

24. + = 1. Рівняння еліпса.

25. х2 + у2 = r2. Рівняння кола радіуса r з центром у точці О(0; 0).

26. х2 + у2 = 0.

Рівняння задовольняють координати точки О(0; 0).

27. = 1. Рівняння гіперболи.

28. х2 у2 = 0, або:

(х – у)(х + у) = 0, або:

Рівняння двох прямих, що перетинаються в точці О(0;0). Бісектриси координатних кутів І і IІІ, ІІ і ІV.

29. у2 = 2рх. Рівняння параболи.

30. у2 – a2 = 0, або

(у – a)(у + a) = 0, або:

Рівняння двох прямих, паралельних координатній осі x. |

23. Ах + Ву + С = 0. Рівняння площини, паралельної осі z.

24. + = 1. Рівняння еліптичного циліндра з твірною, паралельною до осі z, напрямною якого є еліпс:

25. х2 + у2 = r2. Рівняння колового циліндра з твірною, паралельною осі z, напрямною якого є коло:

26. х2 + у2 = 0. Рівняння осі z.

27. = 1. Рівняння гіперболічного циліндра з твірною, паралельною осі z, напрямною якого є гіпербола:

28. х2 у2 = 0, або:

Рівняння двох площин, що перетинаються по осі z. Бісекторні площини двогранних кутів, утворених координатними площинами (xz) і (yz).

29. у2 = 2рх. Рівняння параболічного циліндра з твірною, паралельною осі z, напрямною якого є парабола:

30. у2 – a2 = 0, або:

Рівняння двох площин, паралельних координатній площині (xz).

Порівняльна характеристика задач на знаходження геометричних

місць на площині і в просторі

На площині | У просторі

1 | 2

1. Знайти геометричне місце середин відрізків, що сполучають дану точку А з точками даної

прямої l.

Таким ГМТ є пряма, паралельна даній і віддалена від неї на відстані (A, l).

2. Знайти геометричне місце центрів кіл, які дотикаються до даної прямої в даній точці.

Таким ГМТ є пряма, перпендикулярна до даної прямої в даній точці.

3. Знайти геометричне місце центрів кіл, які дотикаються до даного кола в даній точці.

Таким ГМТ є пряма, яка проходить через центр даного кола і дану точку.

4. Знайти геометричне місце центрів кіл радіуса R, що дотикаються до даної прямої.

Таким ГМТ є дві прямі, паралельні даній і віддалені від неї на відстань R.

5. Знайти геометричне місце центрів кіл, які дотикаються до двох даних паралельних прямих.

Таким ГМТ є вісь симетрії даних прямих.

6. Знайти геометричне місце центрів кіл, які проходять через дані точки А і В.

Таким ГМТ є серединний перпендикуляр відрізка АВ.

7. Знайти геометричне місце вершин трикутників,