Багатофакторний кореляційно-регресійний аналіз

У багатьох випадках на результативну ознаку впливає не один, а кілька факторів Між факторами існують складні взаємозв'язки, тому їхній вплив на результативну ознаку с комплексним, а не просто сумою ізольованих впливів

Багатофакторний кореляційно-регресійний аналіз дає змогу оці-нити міру впливу на досліджуваний результативний показник кожного із введених у модель факторів при фіксованому положенні на середньому рівні інших факторів Важливою умовою с відсутність функціональ-ного зв'язку між факторами

Математично завдання зводиться до знаходження аналітичного виразу, котрий якнайкраще відображував би зв'язок факторних ознак з результативною, тобто знайти функцію

=f(X1,X2,X3,... ,Хп).

Найскладнішою проблемою є вибір форми зв'язку, аналітичного виразу зв'язку, На підставі чого за наявними факторами визначають результативну ознаку-функцію Ця функція мас краще за інші відо-бражати реальні зв'язки між досліджуваним показником і факторами. Емпіричне обгрунтування типу функції за допомогою графічного аналізу зв'язків для багатофакторних моделей майже непридатне. Форму зв'язку можна визначати добиранням функцій різних типів, але це пов'язане з великою кількістю зайвих розрахунків. Зважаючи на те, що будь-яку функцію багатьох змінних шляхом логарифмування або заміни змінних можна звести до лінійного вигляду, рівняння множинної регресії можна виразити у лінійній формі:

= a0 + a1X1 + a2X2 + …+anXn.

Параметри рівняння обчислюють способом найменших квадратів Так, для розрахунку параметрів рівняння лінійної двофакторноі регресії

= a0 + a1X1 + a2X2,

де — розрахункові значення результативної ознаки-функції; Х1 і Х2 — факторні ознаки; a0, al i a2 — параметри рівняння, які можна обчислити способом найменших квадратів, розв'язавши систему нор-мальних рівнянь:

Кожний коефіцієнт рівняння вказує на ступінь впливу відпо-відного фактора на результативний показник при фіксованому поло-женні решти факторів, тобто як зі зміною окремого фактора на одиницю змінюється результативний показник Вільний член рівнян-ня множинної регресії економічного змісту не має.

Звернемося до прикладу Стаж роботи, тарифний розряд і денна заробітна плата десяти робітників підприємства характеризуються певними даними (табл.1) Треба встановити залежність заробітної плати Y від двох факторів, стажу роботи робітників X, і тарифного розряду Х2. Заповнимо розрахункову таблицю.

Таблиця 1. Розрахункові дані до визначення рівняння зв'язку

Hoмep робіт-ника

n | Стаж роботи

X1 | Тариф-ний розряд

X2 | Денна заро-бітна плата Y,

грн. | YХ1 | YХ2 | X12 | X22 | Y2 | X1X2 | Yx

1 |

1 |

2 |

3 |

3 |

6 |

1 |

4 |

9 |

2 |

2,3

2 |

3 |

3 |

6 |

18 |

18 |

П |

9 |

36 |

9 |

5,0

3 |

6 |

3 |

5 |

30 |

15 |

36 |

9 |

25 |

18 |

7,4

4 |

5 |

2 |

7 |

35 |

14 |

25 |

4 |

49 |

10 |

5,7

5 |

8 |

5 |

10 |

80 |

50 |

64 |

25 |

100 |

40 |

10,8

6 |

10 |

4 |

9 |

90 |

36 |

100 |

16 |

8 |

40 |

11,6

7 |

9 |

6 |

13 |

117 |

78 |

81 |

36 |

169 |

54 |

12,5

8 |

15 |

5 |

18 |

270 |

90 |

225 |

25 |

324 |

75 |

16,6

9 |

12 |

5 |

15 |

180 |

75 |

144 |

25 |

225 |

60 |

14,1

10 |

18 |

6 |

20 |

360 |

120 |

324 |

36 |

400 |

108 |

20,0

Разом |

87 |

41 |

106 |

1183 |

502 |

1009 |

189 |

1418 |

416 |

106,0

У серед-ньому | 8,7 | 4,1 | 10,6 | 118,3 | 50,2 | 100,9 | 18,9 | 141,8 | 41,6 | 10,6

Підставимо знайдені дані в систему нормальних рівнянь:

106= 10а0 + 87а1 + 41 а2,

1183 = 87а0 + 1009а1 + 416а2;

502 = 41а0 + 416а1 + 189а2.

Для розв'язання системи нормальних рівнянь поділимо всі члени рівнянь на коефіцієнти при а0:

10,6 = а0 + 8,73, + 4,1а1;

13,6 = а0 + 11,6а1 + 4,78а2;

12,244 = а0 + 10,146а1 + 4,61а2.

Віднімемо від другого рівняння перше, а від третього рівняння -друге:

3 = 2,9а1 + 0,68а2;

-1,356 = -1,454а1-0,17а2.

Розділимо кожний член обох рівнянь на коефіцієнт при а1 і віднімемо від першого рівняння друге:

1,034 = а1 + 0,234а2

-

0,932 = а1 +0,117а2

0,102 = 0,117а2,

звідки

a2 = = 0,872.

Підставивши параметр а2 у рівняння, дістанемо

а1 = 1,034-0,234 * 0,872 = 0,83;

а0 = 10,6-8,7 * 0,83-4,1 * 0,872 = - 0,196.

Рівняння зв'язку, яке визначає залежність результативної ознаки від двох факторних, .має такий вигляд:

= -0,196 + 0,83х1+0,872х2.

Отже, зі збільшенням стажу роботи робітника на 1 рік денна заробітна плата підвищується на 0,83 грн., а при підвищенні тарифного розряду на одиницю денна заробітна плата зростає на 0,872 грн.

Підставивши в рівняння значення X1 і Х2, дістанемо відповідні зна-чення змінної середньої (остання графа табл. 1), які досить близько відтворюють фактичні рівні заробітної плати Це свідчить про правильний добір форми математичного вираження кореляційного зв'язку між трьо-ма досліджуваними ознаками

Однак на підставі коефіцієнтів регресії не можна судити, яка з факторних ознак найбільше впливає на результативну, оскільки коефіцієнти регресії між собою непорівняльні, адже їх виражено різними одиницями 3 метою виявлення порівняльної сили впливу окремих факторів та їхніх резервів, статистика обчислює часткові коефіцієнти еластичності , а також бета-коефіцієнти , за форму-лами:

де аі — коефіцієнт регресії при і-му факторі; — середнє значення і-го фактора; — середнє значення результативної ознаки; — середнє квадратичне відхилення і-го фактора; — середнє квадра-тичне відхилення результативної ознаки.

Часткові коефіцієнти еластичності є показують, на скільки про-центів у середньому зміниться результативна ознака при зміненні на 1 % кожного фактора та фіксованому положенні інших факторів.

Для визначення факторів, які мають найбільші резерви поліпшен-ня досліджуваної ознаки, з урахуванням ступеня варіації факторів, закладених у рівняння множинної регресії, обчислюють часткові -коефіцієнти, які показують, на яку частину середнього квадратич-ного відхилення змінюється результативна ознака при змінені від-повідної факторної ознаки на значення її