Безпосередньо за означенням інтеграли легко обчислювати лише для най- простіших функцій, таких, як y = k x, y = xІ Для інших функцій, наприклад тригонометричних, оьчислення границь сум ускладнюється.

Виникає запитання: чи не можна обчислювати інтеграли іншим способом? Такий спосіб був знайдений лише у ХVII ст. англійським вченим Ісааком Ньютоном (1643 – 1727) і німецьким математиком Готфрідом Лейбніцом (1646 – 1716). Строге доведення формули Ньютон – Лейбніца дають у курсі матема-тичного аналізу. Ми лише проілюструємо правильность формули геометрич-ним міркуванням.

Нагадаємо задачу про площу криволінійної трапеції. Було встановленно, що

Виберемо довільну точку x є [ a; b]і проведемо через

неї пенпендикуляр хК до осі Ох. Площа фігури а А К х

змінюється зі змінною х. Позначемо цю функцію че-

рез S (x) і покажемо, що існує її похідна причина, при-

чому Sґ(x)=ѓ(x), де y=ѓ(x) – підінтегральна функція,

графік якої обмежує криволінійну трапецію. Інакше

кажечи, покажемо, що S (x) є первісною для ѓ(x).

Надамо змінній x приросту Дx, вважаючи ( для спрощення міркування), що Дx > 0. Тоді й фенкція S (x) набуде приросту ДS (x). У курсі математичного аналізу доводиться, що неперервна на відрізку[ a; b]функція y=ѓ(x )досягає на цьому найбільшого і найменшого значень. Оскільки підінтегральна функція y=ѓ(x ) є неперервною на відрізку[x,x+Дx], то вона досягає на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень. Отже,

m Дx < Д S (x) < M Дx

Поділивши всі частини цієї нерівності на, одержимо

За непервністю функції y=ѓ(x)

lim m =lim M = ѓ(x)

Дx>0 Дx>0

функція є однією з первісних функції y=ѓ(x ).

Позначимо через F(x)будь-яку первісну для функції y=ѓ(x ). За основною властивістю первісної будь-які первісні для однієї і тієї самої функції можуть відрізнятися лише сталим додатком C. Тому

S(x) = F(x)+ C. (1)

При x=a криволінійна трапеція вироджується у відрізок a A, тому S(x) = 0.

Підставивши у рівність (1) замість х число а , а замість S(x) число 0, одер-жимо C= - F(a). Після підстановки замість C у рівність (1) його значення маємо

S(x) = F(x)-F(a). (2)

Коли x=b, то площа криволінійної трапеції дорівнює числуS=S(b). Крім того, за цією умови рівність (2) матиме вигляд

S(b) = F(b)-F(a).

Раніше було встановлено, що площа криволінійної трапеції дорівнює

b

значенню ? ѓ(x) dx. Тому можна зробити висновок, що

a

b

? ѓ(x) dx = F(b)-F(a). (3)

a

Це і є формула Ньютона-Лейбніца, яка показує, що значення інтегралу на відрізку[a;b] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції при x=b i x=a.

Різницю F(b)-F(a) позначають. Тому рівність (3) можна записати так:

Розвязання роглянутих раніше двох задач про площі трикутника і фігури, обмеженої параболою, значно спрощується, якщо використати формулу Ньютона – Лейбніца. Справді,

(кв. од.);

(кв. од.).

П р и к л а д 3. Обчислимо за формулою

Ньютона – Лейбніца площу фігури,

обмеженої зверху синусоїдою y=sin x,

знизу – віссю Ох, а з боків – прямими

.

Розв’язання:

( кв. од.).

Запишемосимволічно основні властивості інтеграла, які випливають із властивостей первісної та формули Ньютона – Лейбніца. Їх неважко довести, користуючись означенням інтеграла:

де

тобто якщо відрізок[a;b]розбито на два

відрізки точкою с, то інтеграл на відрізку[a;b]дорівнює сумі інтегралів на від- різках[a;b] i [a;c].

де

Доведіть самостійно перші три властивості. Останню иластивість доведен-но в курсі математичного аналізу.

Приклад 4. Обчислити

Розв’язання:

Приклад 5. Обчислити

Розв’язання:

Приклад 6. Обчислити

Розв’яззати: