Реферат
Н а Т Е М У:
“Обернені тригонометричні функції. Тригонометричні рівняння і нерівності”
ОБЕРНЕНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ. РОЗВЯЗУВАННЯ НАЙПРОСТІШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ
ПЛАН
Обернені тригонометричні функції
Тригонометричні рівняння
Тригонометричні нерівності.
Введення обернених тригонометричних функцій
Вивчення обернених тригонометричних функцій слід починати з повторення і розширення відомостей про обернені функції, які вивчались в курсі алгебри VIII класу і використовувались під час вивчення функцій . У VIII класі було сформульо-вано означення оборотної функції f, введено поняття функції g, оберненої до функції f, сформульовано необхідну і достатню умову існування функції, оберненої до даної і доведено достатню умову: кожна монотонна функція оборотна. Було доведено також теорему про властивість графіків взаємно обернених функцій і розглянуто вправи на знаходження за формулою даної функції оберненої до неї функції.
У IX класі було введено означення числової функції як відоб-раження підмножини D множини R на деяку підмножину Е мно-жини R. Для позначення області визначення і множини значень функції f були введені символи D(f) і E(f). У X класі під час повто-рення відомостей про обернену функцію є можливість, використо-вуючи введену в IX класі термінологію і символіку, сформулювати означення взаємно обернених функцій (див. [2]). З нових відомостей про взаємно обернені функції є теорема (яку формулюють без доведення) про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної неперервної і монотонної функції. Ця теорема використо-вується, коли розглядаються обернені тригонометричні функції.
Перед введенням обернених тригонометричних функцій кожно-го виду слід повторити з учнями властивості всіх тригонометричних функцій числового аргументу.
Після цього доцільно запропонувати учням знайти функцію, обернену, наприклад, до функції у = sin x. З курсу алгебри VIII класу відомо, що спочатку треба переконатись, чи є оборотною дана функція на області її визначення. З графіка синуса добре видно, що ця функція не є оборотною на області визначення, оскільки кожного свого значення вона набуває безліч раз. Але приклад функції у = х2 свідчить, що функція може бути оборотною на певній підмножині з області визначення, зокрема на тій множині, де вона монотонна. Функ-ція у = sin x має безліч проміжків зро-стання і спадання і тому є оборотною на кожному з них. Домовились вибрати один з цих проміжків - проміжок , на якому синус зростає і набуває всіх своїх значень з множини значень [-1; 1].
Отже, функція у = sin х, якщо x , оборотна і має обернену функцію, яку називають арксинусом і позначають arcsin. Після цього доцільно, щоб учні самі записали область визначення функції і множину її значень: Е (arcsin) = , D(arcsin) = [-1; 1] і назвали дві властивості функції арксинус (зростаюча і не-перервна функція), спираючись на сформульовану раніше теорему про неперервність і монотонність функції, оберненої до даної монотонної і неперервної функції.
Графік функції у = arcsin x учні також можуть побу-дувати без допомоги вчителя, спираючись на властивість гра-фіків взаємно обернених функцій. Доцільно наголосити на тому, що коли під знаком arcsin стоїть число додатне, то значення функції належать проміжку , а коли від'ємне - то про-міжку , причому arcsin 0 = 0, arcsin 1 = , arcsin (-1) = -.
Доведемо непарність функції арксинус, тобто доведемо, що arcsin (-х)= - arcsin x. За означенням арксинуса маємо:
,
Помноживши всі три частини останньої нерівності на —1, дістанемо
Визначимо синуси виразів arcsin (-х) і -arcsin х, спираючись на означення арксинуса і непарність синуса
sin (arcsin (-х)) = -х,
sin (-arcsin х) =-sin (arcsin x) = -x.
Але якщо два числа належать одному проміжку і синуси їх рівні, то й числа рівні, оскільки синус монотонний на вказаному проміжку. Отже,
arcsin (-х) = -arcsin x.
Властивість непарності підтверджується симетрією графіка функції у=arcsin x відносно початку координат.
Обчислюючи значення функції arcsin за таблицями синусів кутів, виражених у градусах, слід додержуватися правил наближе-них обчислень. Ця вимога не завжди виконується в навчальному посібнику [2]. Так, в прикладі 1 з пояснювального тексту п. 85 записи слід було б виконати так:
0,9063 sin 65°00';
65° 00' 1,1345 рад;
arcsin 0,9063 1,1345,
оскільки даному наближеному значенню синуса 0,9063 за табли-цями відповідає наближене значення кута з точністю до 1.
Якщо треба знайти arcsin 0,68, то відповідні записи повинні мати такий вигляд:
0,68 sin 420
420 0,73;
arcsin 0,683 0,73
Вивчення інших обернених тригонометричних функцій можна проводити за таким самим планом, максимально стимулюючи самостійну роботу учнів під час знаходження відповідної оберне-ної функції і з'ясування h властивостей. Щодо арккосинуса вчитель має звернути увагу учнів на те, що ця функція не належить ні до парних, ні до непарних функцій. Вона задовольняє умову
arccos (-х) = - arccos х.
Можна запропонувати допитливим учням самостійно довести що тотожність.
Учні краще засвоять обернені тригонометричні функції та їх властивості, виконавши такі вправи.
1) Чи існує arccos 1,5?
2 ) Чи правильні рівності: arcsin х = , arccos х = -; arccos х = ?
3) Знайдіть область визначення функції у = arcsin (2х- 3).
4) В якій чверті знаходиться дуга у = 3arctg 1,7?
5) Обчисліть sin ; .
Детальніше розглянути властивості обернених тригонометрич-них функцій можна на заняттях математичного гуртка, зокрема на таких заняттях доцільно довести тотожності:
arccos (-х) = - arccos x,
arcctg (-х) = — arcctg x;
розглянути тригонометричні операції над оберненими тригонометричними функціями; вивести основні співвідношення між ними.
У методичній літературі свого часу велась дискусія з приводу означення поняття тригонометричного рівняння. Тригонометричним пропонували називати:
1) рівняння, в