Знакозмінні та знакопостійні ряди. Абсолютна та умовна збіжність.
План.
Означення закономірного ряду.
Теорема Коші.
Абсолютна та умовна збіжність.
Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди”. Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д.Подільчук. КДТЕУ. К, 1992 р. ст. 16-19.
Теорема. Якщо в ряді з додатними членами загальний член, починаючи з певного значення п, задовольняє нерівність де q – стале число, менше за одиницю, то ряд збігається.
Коли ж навпаки, починаючи з певного значення п, маємо то ряд розбігається.
Доведення. У першому випадку маємо, починаючи з певного значення п,
Отже, збіжність ряду й тут безпосередньо встановлюється порівнянням із спадною геометричною прогресією, знаменник якої q. Варто зауважити, що нерівність
характеризує при цьому “швидкість” збіжностей даного ряду порівняно з геометричною прогресією.
В другому випадку матимемо з певного моменту , отже, ряд напевне, розбігається, бо навіть основна необхідна умова збіжності не виконується.
Наслідок. Якщо існує , то при r < 1 ряд напевне збігається. Випадок r = 1 і тут взагалі є сумнівний.
Доведення.
Взявши u тут якесь число q, проміжне між r та 1 (), ми з певного моменту матимемо – в першому випадку:
Отже, ряж збігається; а в другому: отже, ряд розбігається.
Часто питання про збіжність ряду, що має члени як додатні, так і від’ємні, можна звести до питання про збіжність знакододатного ряду. Розглянемо таку теорему.
Теорема. Ряди напевне збігається, якщо збігається ряд
Доведення. Для кожного можна знайти таке , при якому для і при буде:
Але тоді й поготів
Але це й доводить теорему.
Означення. Збіжний ряд називається абсолютно збіжним. Якщо збігається також і ряд
Розглянемо, наприклад, ряд
(1)
Він ні знакододатний, ні знакозмінний. Ряд
(2)
є знакододатний. Порівнюючи його з рядом
(3)
маємо
Ряд (3) збіжний, як ряд Діріхле-Рімана при , отже, збіжним є ряд (2). Тоді за доведеною теоремою і за означенням ряд (1) є абсолютно збіжним.
Оскільки ряд, члени якого – абсолютні значення членів будь-якого ряду є знако-додатний, то, очевидно, щоб дослідити, чи будь-який ряд є абсолютно збіжним, ми можемо використовувати ознаки збіжності, виведені для знакододатних рядів, замінивши у відповідних виразах члени даного ряду їх абсолютними значеннями. Так, ознака Даламбера збіжності ряду запишеться тоді у вигляді ознака Коші – у вигляді: і т.п.
Означення. Якщо ряд (*) збіжний, а ряд розбіжний, то даний ряд (*) називається умовно збіжним.
Отже, ряд
умовно збіжний,
Так само ряд
умовно збіжний, бо ряд
є ряд Діріхле-Рімана, в якому
Знакочергуючі ряди. Ознака Лейбніца.
План.
Означення знакочергуючого ряду.
Ознака Лейбніца.
Оцінка залишку знакочергуючого ряду, збіжного за ознакою Лейбніца.
Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди”. Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д.Подільчук. КДТЕУ. К, 1992 р. ст. 16-19.
Означення. Знакозмінними рядами називаються ряди виду:
де - додатні числа.
Теорема Лейбніца. Якщо в знакозмінному ряді абсолютне значення загального члена монотонно прямує до нуля (тобто до того ж ), тоді знакозмінний ряд збігається, причому сума його має числове значення, проміжне між нулем та першим членом
Доведення. Розглянемо спочатку частинну суму парного порядку , причому запишемо її в двох різних виглядах:
1 .
Помічаємо, що чим більше К, тим більше пар, але кожна пара додатна, отже, монотонно зростає при збільшенні К.
З другого боку
Бачимо, що < , для всіх значень k > 1. Отже, обмежена зверху.
Зіставляючи обидва факти, приходимо до висновку, що величина монотонна і разом з тим обмежена змінна, том вона, прямує до певної скінченої границі , при чому ця границя, очевидно, більша за а1 – а2 і не перевищує а1:
а1 – а2 < < а1.
Отже, напевне 0 < < а1.
Розглядаючи вже тепер частинну суму непарного порядку +1, маємо:
= + а2к+1.
Отже,
Остаточно приходимо до висновку, що існує єдина границя:
(0 < S < a1),
коли індекс n – будь-яке натуральне число як парне, так і непарне, що доводить теорему.
Наслідок. За умовою теореми Лейбніца остаточна S – Sn = rn менша за абсолютним значенням, ніж абсолютне значення першого з відкинутих членів:
, і має знак цього члена.
Доведення. Маємо:
,
Ряд в останніх дужках сам по собі є знакозмінний і задовольняє теорему Лейбніца, тому
,
причому
Отже, якщо перший з відкинутих членів непарний, то представляє S з недостачею. Похибка має знак плюс. Якщо ж перший відкинутий член – парний, то , представляє S з надлишком. Похибка має знак мінус. В обох випадках, як бачимо, похибка має знак першого відкинутого члена і менша за абсолютним значенням, ніж абсолютне значення першого з відкинутих членів.
Диференціювання та інтегрування
степеневих рядів.
План.
1. Знаходження сум степеневих рядів використовуючи почленне диференціювання та інтегрування.
Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди.” Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д. Подільчук. КДТЕУ.К., 1992 р. ст. 22-23.
Диференціювання степеневих рядів.
Теорема. Якщо степеневий ряд
(1)
має інтеграл збіжності (-р, р), то ряд
, (2)
утворений по членним диференціюванням ряду (1), має той самий інтервал збіжності (-р, р) і його сумою в цьому інтервалі є функція .
Доведення. Покажемо раніш, що коли ряд (1) збігається при певному значенні , то на кожному сегменті , де , ряд (2) збігається абсолютно й рівномірно.
Для цього, досить виявити збіжність ряду
(3)
що відіграватиме роль мажоруючого ряду.
Позначаючи , де , і беручи до уваги, що , маємо
,
де . Застосуємо до ряду
(4)
ознаку Даламбера:
.
Отже, ряд (4) збіжний, а тому збіжним є ряд (3). Звідси, випливає, що ряд (2) збігається абсолютно при кожному значені х інтервалу (-р, р), тобто інтервалу збіжності ряду (1). Якщо позначити, радіус збіжності ряду (2) через р’, то ми довели, що рр’.
Доведемо тепер, що р’ не може бути
