Реферат

на тему:

“Векторна алгебра”

ВЕКТОРНА АЛГЕБРА - розділ векторного числення в якому вивчаються найпростіші операції над (вільними) векторами. До числа операцій відносяться лінійні операції над векторами: операція додавання векторів і множення вектора на число.

Сумою a+b векторів a і b називають вектор , проведений з початку a до кінця b , якщо кінець a і початок b сполучені. Операція додавання векторів має властивості:

a+b=b+a (комутативність)

(а+b)*з=а*(b+с) (асоціативність)

a + 0=a (наявність нульового елементу )

a+(-a)=0 (наявність протилежного елементу),

де 0 - нульовий вектор, -a є вектор, протилежний вектору а. Різницею a-b векторів a і b називають вектор x такий, що x+b=a.

Добутком x вектора а на число у випадку 0, аПро називають вектор, модуль якого дорівнює |||a| і який спрямований у ту ж сторону, що і вектор a, якщо >0, і в протилежну, якщо <0. Якщо =0 чи (і) a =0, то a=0. Операція множення вектора на число має властивості:

(*(a+b)= (*a+(*b (дистрибутивність щодо додавання векторів)

((+u)*a=(*a+u*a (дистрибутивність щодо додавання чисел)

*(u*a)=(*u)*a (ассоциативність)

1*a=a (множення на одиницю)

Безліч усіх векторів простору з введеними в ньому операціями додавання і множення на число утворить векторний простір (лінійний простір).

У Векторній алгебрі важливе значення має поняття лінійної залежності векторів. Вектори а, b, … , с називаються лінійно залежними векторами, якщо існують числа , ,…,з який хоча б одне відмінно від нуля, такі, що справедливо рівність:

a+b+…c=0. (1)

Для лінійної залежності двох векторів необхідна і достатня їх коллінеарність, для лінійної залежності трьох векторів необхідна і достатня їх компланарність. Якщо один з векторів а, b, ...,c нульовий, то вони лінійно залежні. Вектори a,b, ..,з називаються лінійно незалежними, якщо з рівності (1) випливає, що числа , ,…,дорівнюють нулю. На площині існує не більш двох, а в тривимірному просторі не більш трьох лінійно незалежних векторів.

Сукупність трьох (двох) лінійно незалежних векторів e1,e2,e3 тривимірні простори (площини), узятих у визначеному порядку, утворить базис. Любою вектор а єдиний образ представляється у виді суми:

a=a1e1+a2e2+a3e3.

Числа a1,a2,a3 називають координатами (компонентами) вектора а в даному базисі і пишуть a={a1,a2,a3}.

Два вектори a={a1,a2,a3} і b={b1,b2,b3} рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їхній відповідні координати в тому самому базисі. Необхідною і достатньою умовою коллінеарності векторів a={a1,a2,a3} і b={b1,b2,b3} ,b0, є пропорційність їхній відповідних координат: a1=b1,a2=b2,a3=b3. Необхідною і достатньою умовою компланарності трьох векторів a={a1,a2,a3} , b={b1,b2,b3} і c={c1,c2,c3} є рівність :

| a1 a2 a3 |

| b1 b2 b3| = 0

| c1 c2 c3 |

Лінійні операції над векторами зводяться до лінійних операцій над координатами. Координати суми векторів a={a1,a2,a3} і b={b1,b2,b3} дорівнюють сумам відповідних координат: a+b={a1+b1,a2+b2,a3+b3}. Координати добутку вектора а на число дорівнюють добуткам координат а на :

а= {а1,a2, a3}.

Скалярним добутком (а, b) ненульових векторів а і b називають добуток їхніх модулів на косинус кута між ними:

(а, b) = | а |*| b | cos.

За приймається кут між векторами, не переважаючий . Якщо а=0 чи b=0, то скалярний добуток думають рівним нулю. Скалярний добуток має властивості:

(a, b)= (b, а) (коммутативність),

(a,b+с)= (a,b) + (а,с) (дистрибутивність щодо додавання векторів),

(a,b)=( a,b) =(a,6) (сочетательність щодо множення на число),

(a,b)=0, лише якщо а=0 чи (і) b=0 чи ab.

Для обчислення скалярних добутків векторів часто користаються декартовими прямокутними координатами, тобто координатами векторів у базисі, що складається з одиничних взаємно перпендикулярних векторів (ортів) i, j, k ( ортонормированний базис). Скалярний добуток векторів :

a={a1,a2,a3} і b={b1,b2,b3}

заданих в ортонормированном базисі, обчислюється по формулі:

(a,b)=a1b1+a2b2+a3b3

Косинус кута між ненульовими векторами a={a1,a2,a3} і b={b1,b2,b3}

може бути обчислений по формулі:

де і

Косинуси кутів вектора a={a1,a2,a3} з векторами базису i, j, k називают. направляючими косинусами вектора а:

, , .

Направляючі косинуси мають наступну властивість:

cos2+cos2+cos2=1

Віссю називається пряма з лежачим на ній одиничним вектором е-ортом, що задає позитивний напрямок на прямій. Проекцією Ін. е а вектора a на вісь називають спрямований відрізок на осі, алгебраїчне значення якого дорівнює скалярному добутку вектора а на вектор е. Проекції мають властивості:

Ін. е (a+b)= Ін. е a+ Ін. е b (аддитивність),

Ін. е a = Ін. е a (однорідність).

Кожна координата вектора в ортонормированном базисі дорівнює проекції цього вектора на вісь, обумовлену відповідним вектором базису.

У просторі розрізняють праві і ліві трійки векторів. Трійка некомпланарних векторів а, b, з називається правої, якщо спостерігачу з їхнього загального початку обхід кінців векторів a, b, з у зазначеному порядку здається совершающимся по годинній стрілці. У противному випадку a,b,c - ліва трійка. Права (ліва) трійка векторів розташовується так, як можуть бути розташовані відповідно великий, незігнутий вказівний і середній пальці правої (лівої) руки(див. рис). Усі праві (чи ліві) трійки векторів називаються однаково орієнтованими.

b b

c c

a a

правило лівої руки правило правої руки

Нижче трійку векторів i,j,k варто вважати правої .

Нехай на площині заданий напрямок позитивного обертання (від i до j). Псевдоскалярним добутком aVb ненульових векторів a і b називають добуток їхніх модулів на синус кута позитивного обертання від a до k:

aVb=| a || b |*sin

Псевдоскалярний добуток нульових векторів думають рівним нулю. Псевдоскалярний добуток має властивості:

aVb=-bVa (антикоммутативність),

a (b+c)=aVb+aVc (дистрибутивність щодо додавання векторів),

(aVb)=aVb (сочетательність щодо множення на число),

aVb=0, лише якщо а=0 чи (і) b=0 чи а