Якщо в ортонормированном базисі вектори а й і мають координати {a1,a2} {b1,b2}, то :

aVb=a1b1-a2b2.

Векторна алгебра і деякі її застосування.

Вектори.

Означення 1. Вектором називають величину, яка характеризується не тільки своїм числовим значенням (довжиною), алі й напрямком.

Вектори позначають або або а, b, c.

При позначенні вектора двома літерами (наприклад, ) перша літера вказує крапку початку вектора, а друга – крапку його кінця. В економіці вектори часто позначають однією великою літерою.

Довжину (модуль) вектора позначають , .

Геометрично вектор зображують як напрямлений відрізок (дивуйся малий.1)

Малий.1

Зображені на цьому малюнку вектори мають довжину:

якщо одиниця масштабу: .

Нульовим вектором називають вектор, початок і кінець якого співпадають.

Такий вектор позначають , його довжина дорівнює нулю, а напрям – довільний.

Рівними називають вектори, які мають однакові довжини та напрямки: .

Колінеарними називають вектори, які розташовані на одній прямій або паралельних прямих (дивуйся малий.2)

Малий.2

Усі зображені на малюнку 2 вектори – колінеарні.

Протилежними називають колінеарні протилежно спрямовані вектори однакової довжини.

Вектор, протилежний вектору позначають .

Ортом вектора називають вектор 0 довжина якого дорівнює одиниці, а напрям співпадає з , тобто = 0.

Компланарними називають вектори, що лежати в одній площині. В економічних дослідженнях n упорядкованих параметрів розглядають як вектор n вимірного простору Еn.

Матриця-рядок та матриця-стовпець містять упорядковані елементи, тому їх можна розглядати як вектори простору відповідного виміру.

Наприклад, є Е5 є Е4

Елементи вектора-рядка та вектора-стовпця називають координатами вектора. Смисл такої назви пояснимо нижче, після визначення проекцій вектора на координатній осі.

Деякі економічні приклади.

У розділі 4 частини 5 наведені приклади застосування векторів до задач мікроекономіки.

Так, використовувались вектор-рядок вартості V = (v1, v2, v3, v4), компоненти якого – вартості різної сировини, палива, робочої людино-години, та вектор-стовпець потреб інших галузей до продукції цехів 1, 2, 3.

Зараз ознайомимось з іншими прикладами застосування векторів.

Продуктивна функція. При аналізі закономірностей виробництва використовується продуктивна функція, яка, по суті, є співвідношенням між використаними у виробництві ресурсами і випущеною продукцією.

Нехай у деякому виробничому процесі є n виробничих ресурсів. Кількість і-го ресурсу, використованого за проміжок години t, позначимо хі. Тоді виробничі ресурси – це вектор Х = (х1, х2, … хn).

Нехай підприємство випускає m різних виробів. Кількість j виробу позначемо уі. Тоді випуск усіх виробів буде вектор Y = ( y1, y2, … ym)... Нехай - вектор параметрів виробництва (наприклад, різні види транспортних чи інших витрат). Продуктивна функція пов’язує вектори ресурсів Х, випуска Y та параметрів , тобто

Продуктивна функція задається аналітично або таблично.

Продуктивну функцію, розв'язану відносно Y, тобто вигляду

називають функцією випуска, а розв'язану відносно вектора Х, тобто вигляду

називають функцією виробничих витрат.

Зрозуміло, що ці функції в конкретних випадках (коли вказано законі та ) використовують правила дій з векторами.

Математичні моделі економічних задач

Навіть найпростіші лінійні статистичні економічні моделі описуються з використанням векторів.

Для дослідження динамічних моделей різних процесів стан вивчаємої економічної системи в момент години t описується за допомогою вектора Х із n вимірного простору, а керування процесом у тієї самий момент години описується за допомогою вектора із m вимірного простору.

Таким чином, у динамічних моделях використовуються вектори n та m вимірних просторів, координати яких залежати від години t.

1.3. Координати векторів

Спочатку нагадаємо поняття числової осі та систем координат. Числовою віссю називають пряму, на якій визначено:

Дві взаємно перпендикулярні числові осі із загальним початком відліку (крапка 0) називають прямокутною декартовою системою координат на площині (у двомірному просторі Е2).

Три взаємно перпендикулярні числові осі із загальним початком відліку (крапки 0) називають прямокутною декартовою системою координат у просторі ( у тривимірному просторі Е3).

На Малюнку 3 зображені:

а) прямокутна декартова система координат на площині;

b) прямокутна декартова система координат у просторі.

a) b)

Малий.3. Вісь 0х називають віссю абсцис; 0у – вісь ординат; 0z – вісь аплікат. Орт осі 0х позначають , орт осі 0у – вектор , орт осі 0z – вектор .

Упорядкована пари чисел (х,у), що відповідає точці М площини х0у, називається декартовими прямокутними координатами крапки М, це позначають М(х,у).

Упорядкована трійка чисел (х,у,z), що відповідає точці М простору 0zух, називається координатами крапки М декартової прямокутної системи координат у просторі, це позначають М(х,у,z).

Відмітимо, що існують інші системи координат на площині та в просторі.

Дамо поняття проекції вектора на вісь. Нехай завдань вектор та вісь l. З точок А і В опускаємо перпендикуляри на вісь l. Одержимо крапки А1 та В1 – проекції точок А та В.

Означення 2. Проекцією вектора на вісь називається довжина вектора , яка узята із знаком “+”, якщо напрям співпадає з напрямом осі та із знаком “-“, якщо напрями протилежні (дів. Малий.4).

Позначають: ін1 .

Означення 3. Кутом між двома векторами (або між вектором та віссю) називають найменший кут між їх напрямами при умові, що вектори зведені до спільного початку (дів. Малий.4).

а) b)

Малий.4.

Знайдемо ін1 :

У випадку а) маємо: ін1 =

У випадку b) маємо:

пр1 =

Таким чином, проекція вектора на вісь дорівнює добутку довжини вектора на косінус кута між вектором і віссю.

Означення 4. Координатами називаються проекції вектора на осі координат.

Нехай вектор має координати ах, ау, аz тобто = (ах, ау, аz) і утворює з осями координат гуляй тоді

ах = | | , аy = | | , аz = | | ,

, називають напрямними косінусами вектора . З попередніх формул маємо:

Розглянемо вектор , де М1(х1,y1)