Реферат
на тему:
“Властивості математичного сподівання і дисперсії”
Властивості математичного сподівання.
Математичне сподівання постійної величини дорівнює цій постійній величині, тобто:
М(С)=С
Постійний множник можна виносити за знак математичного сподівання
M(kx)=kM(x)
Математичне сподівання суми скінченої кількості випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань:
M(x+y)=M(x)+M(y)
Математичне сподівання добутку випадкових величин дорівнює добутку математичних сподівань цих величин:
Якщо всі значення випадкової величини X зменшити (збільшити) на одне й те саме число C , то математичне сподівання зменшиться (збільшиться) на те саме число:
M(X–C)=M(X)–C
Наслідок:
Математичне сподівання відхилення випадкової величини X , від її математичного сподівання дорівнює 0
Математичне сподівання дискретної величини
Приклад:
У парку організована безпрограшна лотерея. Маємо 1000 виграшів, з них 400 по 10 коп.,300 – по 20 коп., 200 – по 1 грн.,100 – по 2грн. Середній розмір виграшу для відвідувача парка, що придбав один квиток дорівнює загальній сумі виграшу, що поділена на загальну кількість виграшів.
Загальна сума дорівнює:
Середній виграш дорівнює
З іншого боку, якщо розглянемо закон розподілу
X | 0,1 | 0,2 | 1 | 2
P | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,1
то таку ж величину отримаємо при знаходженні суми добутку значень випадкових величин на відповідні ймовірності
М(х)=0,10,4+0,30,2+20,1=0,5
Математичним сподіванням дискретної випадкової величини називається сума добутку всіх її значень на відповідні їм ймовірності:
де
Дисперсія дискретної випадкової величини.
Дисперсія (з лат. – розсіяність). В більшості випадків тільки математичне сподівання не може в достатній мірі характеризувати випадкову величину.
Приклад №1
При однаковій середній величині опадів в двох місцевостях за рік не можна казати, що клімат цих міст однаковий.
Приклад №2
Середня заробітна платня не дає можливості казати про питому вагу високо й низькооплачуваних робітників, тобто по математичному сподіванню не можна казати, які відхилення від нього хоча б у середньому можливі.
Найбільш розповсюджена міра розсіювання – це дисперсія та безпосередньо отримане з неї середнє квадратичне відхилення.
Розкид значень випадкової величини X від її математичного сподівання а характеризують різницю хі–а, однак середнє значення їх не може характеризувати розсіювання, тому що, відповідно наслідку, математичне сподівання цієї різниці буде дорівнювати 0. Отже розглядають квадрати вказаних відхилень:
Це математичне сподівання й називається дисперсією випадкової величини X, а позначається D(x) або
Дисперсією випадкової величини X називається математичне сподівання квадрату відхилення її математичного сподівання.
Середнім квадратичним відхиленням випадкової величини X називається арифметичне значення квадратного кореню від дисперсії, тобто:
Властивості дисперсії
Дисперсія постійної величини дорівнює нулю D(с)=0
Постійний множник виноситься за знак дисперсії, якщо піднести його до квадрату, тобто:
Дисперсія випадкової величини дорівнює математичному сподіванню квадрату її без квадрату математичного сподівання цієї величини:
Дисперсія суми скінченої кількості незалежних випадкових величин дорівнює сумі дисперсій цих величин:
Наслідок:
Середньоквадратичне суми скінченого числа незалежних випадкових величин дорівнює квадратному кореню з суми квадратів середньоквадратичних відхилень, тобто:
5) Дисперсія різниці незалежних випадкових величин дорівнює:
або
Математичні сподівання
та дисперсії деяких випадкових величин.
Теорема 1 Якщо X1, X2,…,XN однаково розподілені випадкові величини, математичні сподівання кожної з яких дорівнює а , тоді математичне сподівання їх суми дорівнює na, тобто
М(Х1+ Х2+ …Хn )=na
Наслідок:
Математичне сподівання від середнього значення випадкової величини буде дорівнювати а, тобто: .
Теорема 2. Якщо X1, X2, …, XN однаково розподілені незалежні випадкові величини, дисперсія кожної з яких дорівнює , тоді дисперсія суми цих випадкових величин :
Наслідок:
Дисперсія середнього арифметичного випадкових величин дорівнює
Теорема 3. Математичне сподівання випадкової величини, розподіленої згідно біноміальному закону, тобто кількість наступів події А в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких воно може настати з постійною ймовірністю р, дорівнює np, а дисперсія дорівнює D(x)=npq, q=1–p.
Теорема 4. Математичне сподівання частоти (частості) події А в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких воно може наступити з постійною ймовірністю p дорівнює цій ймовірності p тобто:
,
а дисперсія буде дорівнювати:
Теорема 5. Математичне сподівання та дисперсія випадкової величини, розподіленої згідно закону Пуассона, співпадають та дорівнюють :
де .
Функція розподілу випадкової величини.
Нехай дискретна випадкова величина задана законом розподілу. Розглянемо подію, яка полягає в тому, що випадкова величина Y прийме яке–небудь значення менше будь–якого числа X. Ця подія має певну ймовірність.
xi | X1 | X2 | … | Xn
Pi | P1 | P2 | … | Pn
Позначимо
При зміні X будуть змінюватися і ймовірності. Отже F(x) можна розглядати як функцію змінної величини X.
Функцією розподілу випадкової величини Y називається функція F(x), яка виражає для кожного X ймовірність того, що Y прийме яке-небудь значення менше заданого.
F(x) – постійна на інтервалах та має скачки в точках, що відповідають її значенням.
Використана література:
1. Методичні вказівки до курсу лекцій. З теорії ймовірностей та математичної статистики / Під ред. проф. Толока В.О.
