Визначений інтеграл

Розглянемо функцію ѓ(х), визначену на відрізку [а; b]. Як і в § 7, відрізок [а; b] точками

поділимо на n рівних за довжиною відрізків.

У кожному х цих відрізків [Х1-1; Х1], і=1, ..., n, довільно візьмемо по одній точці і позначимо її о1; о1 [Х1-1; Х1].Тоді сума

ѓ(о1)ѓ(о1)ѓ(о1),

де = Х1-Хі-і, називається інтегральною сумою функції ѓ.

Очевидно, ця сума залежить і від того, як поділено відрізок [а; b], і від того, як взято точки о1.

Означення. Якщо границя

існує і не залежить від вибору точок о1, то функція ѓ називається інтегрованою на відрізку [а; b], а границя називається визначеним інтегралом від функції ѓ на відрізку [а; b]; його позначають

ѓ(х) bx.

Це позначення читають “Інтеграл від а до b від функції ѓ(х) bх“. Знак називається знаком інтеграла, функція ѓ – підінтегральною функцією, змінна х – змінною інтегрування. Вираз ѓ(х) bх – підінтегральним виразом. Числа а і b називаються межами інтегрування, відповідно нижньою і верхньою. Таким чином, за означенням

ѓ(х) bx =

Зазначимо, що інтеграл не залежить від того, якою буквою позначено змінну інтегрування, тому, наприклад,

ѓ(х) bx = ѓ(t) bt = ѓ(u) bu.

Приклад безпосереднього обчислення визначених інтегралів (виходячи безпосередньо з означення) було дано в § 7 (див. приклади 1 і 2).