Використання алгебри матриць.

В економічний задачах алгебра матриць використовується як засіб збереження інформації в табличній формі.

Приклад 1.

Сезонний продаж товарів трьох видів (б, в, г) здійснюють три магазини (12 3). Обсяги реалізації цих товарів (в грош. од.) кожним магазином представлено у вигляді матриць

; В = ; С = ,

де в рядках вказано суми, отримані кожним магазином за відповідний сезон (зима, весна, літо, осінь), а в стовпчиках – суми, отримані за продаж відповідного товару (б, в, г) . Потрібно: 1) перевірити, що суми реалізації товарів першого і третього магазинів разом більші, ніж другого; 2) записати у вигляді матриці сукупні суми реалізації товарів трьома магазинами.

Розв'язування.

Знаходимо обсяг реалізації товарів кожного виду першим і третім магазинами. Він дорівнює сумі А+С:

А+С =

Порівнюючи елементи матриці А+С з відповідними елементами матриці В, легко пересвідчитися, що у кожному сезоні перший і третій магазини разом продали кожному виду товарів більше, ніж другий магазин. Щоб записати у вигляді матриці дані про сукупний продаж магазинів, знайдемо матрицю А+В+С:

А+В+С =

Приклад 2.

Випуск готової продукції п'яти підприємств включає чотири види виробів (б, в, г, д). Для їх виробництва використовуються три різні типи сировини (І, ІІ, ІІІ). Дані щоденної продуктивності підприємств з кожного виробу (число виробів за дань) і витрат сировини на одиницю виробу (кг/шт.), а також число днів роботи кожного підприємства і вартість у гривнях 1 кг сировини кожного типу, наведено в таблиці.

Вироби | Продуктивність підприємств шт. /день | Витрати сировини, кг/шт.

1 | 2 | 3 | 4 | 5 | І | ІІ | ІІІ

б | 6 | 10 | 0 | 6 | 2 | 5 | 3 | 4

в | 4 | 3 | 0 | 4 | 5 | 10 | 4 | 6

г | 0 | 15 | 10 | 3 | 4 | 2 | 5 | 5

д | 3 | 5 | 8 | 7 | 6 | 4 | 8 | 6

Час роботи підприємств (дн.) | Ціна сировини (грн./кг)

100 | 200 | 140 | 150 | 170 | 30 | 20 | 50

Потрібно визначити:

а) сумарну продуктивність кожного підприємства по кожному з виробів за весь виробничий період);

б) потреби кожного підприємства у різних типах сировини;

в) розміри кредитування підприємств для закупівлі сировини.

Розв'язування.

Розглянемо матрицю А, що характеризує продуктивність підприємств, матрицю В – витрат сировини і С – матрицю цін, тоді

Продуктивність підприємств Вид виробу

1 2 3 4 5 1 2 3 4

А = Вид виробу В = Вид сировини

С= (30 20 50).

а) Кожний стовпчик матриці А відповідає денній продуктивності окремого підприємства з кожного виду продукції. Щоб отримати річну продуктивність j-го підприємства (j=1,2,3,4,5), потрібно помножити j-тий стовпець матриці А на кількість робочих днів цього підприємства. Час роботи кожного з підприємств запишемо у вигляді діагональної матриці

Т =

Тоді загальна продуктивність за виробничий період є добуток матриць А.Т:

АТ = =

підприємства

вироби

б) Витрати сировини кожного підприємства є добуток В.(АТ):

В.АТ = =

в) Вартість річного запасу сировини одержуємо як добуток матриці цін С на матрицю витрат В(АТ):

D = C.(B.(AT)) = (30 20 50)=

(692000 3038000 1223600 157500 1587800).

Отже, величини кредитування j-го підприємства на закупівлю сировини визначаються компонентами матриці D.

Економічні задачі, що зводяться до систем лінійних рівнянь.

Приклад 3.

Для випуску виробів трьох видів (б, в, г) підприємство використовує сировину 3-х типів (S1, S2, S3). Норми витрат кожного з типів сировини на один виріб і обсяг витрат сировини за один день задано таблицею:

Вид сировини | Норми витрат сировини на один виріб, ум. од. | Витрати сировини за день, ум. од

б | в | г

S1 | 9 | 3 | 4 | 2700

S2 | 7 | 1 | 6 | 2700

S3 | 14 | 5 | 6 | 4200

Знайти щоденний обсяг випуску кожного виду виробів.

Розв'язування.

Припустимо, підприємство щодня виробляє х1 одиниць виробів виду б, х2 одиниць – виду в і х3 одиниць виробів виду г. Тоді, відповідно з витратами

Сировини кожного виду, маємо систему:

Розв'Язавши цю систему, знайдено х1=100, х2=200, х3=300. Це означає, що підприємство щоденно виробляє 100 виробів виду б, 200 виробів виду в і 300 виробів виду г.

Приклад 4.

Два заводи виготовляють апарати для двох підприємство. Підприємствам необхідно отримати 120 і 80 апаратів відповідно. Перший завод випустив 150 апаратів, а другий – 50. Витрати на перевезення апаратів із заводів кожного підприємства такі:

Завод | Витрати на перевезення, грош.од.

1 | 2

1 | 10 | 20

2 | 5 | 25

Мінімальні витрати на перевезення становлять 2850 грош.од. Знайти оптимальний план перевезення апаратів.

Розв'язування.

Позначимо хij – кількість апаратів, що надходять з і-го заводу до j-го підприємства. Тоді можемо скласти таку систему:

Розв'язавши систему, наприклад, методом Гаусса, знайдемо х11=100, х12=50, х21=20, х22=30.