D = { {x,y} | x{a,b,c}, y{a,b,c} і x y}. (1.1)

З метою зручності та одностайності при проведенні математичних викладок вводиться поняття множини, яка не містить жодного елемента. Така множина називається порожньою множиною і позначається . Наприклад, якщо досліджується множина об’єктів, які повинні задовольняти певній властивості, і в подальшому з’ясовується, що таких об’єктів не існує, то зручніше сказати, що шукана множина порожня, ніж оголосити її неіснуючою. Порожню множину можна означати за допомогою будь-якої суперечливої властивості, наприклад: ={xxx} тощо. Разом із тим, твердженням "множина M - непорожня" можна замінювати рівносильне йому твердження "існують елементи, які належать множині M".

3. Підмножини

Дві множини A і B називаються рівними (записується A=B), якщо вони складаються з тих самих елементів.

Множина A називається підмножиною множини B (записується AB або BA) тоді і тільки тоді, коли кожний елемент множини A належить також множині B. Кажуть також, що множина A міститься у множині B. Знаки і називаються знаками включення.

Неважко переконатись, що A=B тоді і тільки тоді, коли одночасно виконуються два включення: AB і BA. Крім того, якщо AB і BC, то AC. Останні два факти часто використовуються при доведенні тверджень про рівність двох заданих множин.

Якщо AB, однак AB, то пишуть AB і називають множину A власною (строгою або істинною) підмножиною множини B. Знак (або ), на відміну від знака (або ), називається знаком строгого включення.

Очевидно, що для будь-якої множини A виконується AA. Крім того, прийнято вважати, що порожня множина є підмножиною будь-якої множини A, тобто A (зокрема, ).

Слід чітко розуміти різницю між знаками і і не плутати ситуації їхнього вживання. Якщо {a}M, то aM, і навпаки.

Однак із включення {a}M, взагалі кажучи, не випливає {a}M. Для будь-якого об’єкта x виконується x. Наприклад, для множини D (1.1) і її елементів виконуються такі співвідношення: {a,b}D, {{a,b},{b,c}}D, a{a,b}, {c}{a,c}, {a}{a,b}.

4. Операції над множинами та їхні властивості

Для множин можна ввести ряд операцій (теоретико-множинних операцій), результатом виконання яких будуть також множини. За допомогою цих операцій можна конструювати із заданих множин нові множини.

Нехай A і B деякі множини.

а) Об’єднанням множин A і B (позначається AB ) називається множина тих елементів, які належать хоча б одній з множин A чи B. Символічно операція об’єднання множин записується так

A B = { x | xA або xB} або xAB

Приклад 1.3. {a,b,c} {a,c,d,e} = {a,b,c,d,e}.

б) Перетином множин A і B (позначається AB ) називається множина, що складається з тих і тільки тих елементів, які належать множинам A і B одночасно. Тобто

AB = { x | xA і xB} або xAB

Приклад 1.4. {a,b,c}{a,c,d,e} = {a,c},

{a,b,c}{d,e} = .

Кажуть, що множини A і B не перетинаються, якщо AB = .

Операції об’єднання та перетину множин можуть бути поширені на випадок довільної сукупності множин {Ai | iІ}. Так об’єднання множин Ai (записується Ai ) складається з тих елементів, які належать хоча б одній з множин Ai даної сукупності. А перетин множин A (записується Ai) містить тільки ті елементи, які одночасно належать кожній з множин Ai.

в). Різницею множин A і B (записується A\B ) називається множина тих елементів, які належать множині A і не належать множині B. Отже,

A \ B = { x | xA і xB} або xA \ B

Приклад 1.5. {a,b,c} \ {a,d,c} = {b},

{a,c,d,e} \ {a,b,c} = {d,e},

{a,b} \ {a,b,c,d} = .

г). Симетричною різницею множин A і B (записується AB, AB або AB ) називається множина, що складається з усіх елементів множини A, які не містяться в B, а також усіх елементів множини B, які не містяться в A. Тобто

AB = { x | ( xA і xB ) або ( xB і xA )} або xAB

Приклад 1.6. {a,b,c}{a,c,d,e} = {b,d,e},

{a,b} {a,b} = .

Введені теоретико-множинні операції можна проілюструвати діаграмою (рис.1.1).

Тут множини A і B - це множини точок двох кругів.

Тоді AB - складається з точок областей І, ІІ, ІІІ,

AB - це область ІІ,

A \ B - область І,

B \ A - область ІІІ,

AB - області І і ІІІ.

Рис. 1.1.

д). У конкретній математичній теорії буває зручно вважати, що всі розглядувані множини є підмножинами деякої фіксованої множини, яку називають універсальною множиною або універсумом і позначають через E (або U). Наприклад, в елементарній алгебрі такою універсальною множиною можна вважати множину дійсних чисел R, у вищій алгебрі - множину комплексних чисел C, в арифметиці - множину цілих чисел Z, в традиційній планіметрії - множину всіх точок площини або множину всіх геометричних об’єктів, тобто множину множин точок на площині тощо.

Якщо зафіксована універсальна множина E, то доповненням множини A (яке є підмножиною універсальної множини E ) - записується - називається множина всіх елементів універсальної множини, які не належать множині A.

Тобто

= { x | xE і xA } або x xA.

Неважко помітити, що = E \ A.

Приклад 1.7. Якщо за універсальну множину прийняти множину N всіх натуральних чисел, то доповненням множини P всіх парних натуральних чисел буде множина всіх непарних натуральних чисел.

Зазначимо у вигляді тотожностей властивості введених вище теоретико-множинних операцій.

1. Асоціативність (A B) C = A (B C); (AB)C = A(BC).

2. Комутативність A B = B A; AB = BA.

3.