13. Відношення порядку

Відношення R на множині M називається відношенням часткового (нестрогого) порядку, якщо воно рефлексивне, антисиметричне і транзитивне, тобто

1. aRa для всіх aM (рефлексивність),

2. Якщо aRb і bRa, то a = b (антисиметричність),

3. Якщо aRb і bRc, то aRc (транзитивність).

Множина M, на якій задано деякий частковий порядок, називається частково впорядкованою множиною. Елементи a,bM назвемо порівнюваними за відношенням R, якщо виконується aRb або bRa.

Частково впорядкована множина M, в якій будь-які два елементи є порівнюваними між собою, називається лінійно впорядкованою множиною або ланцюгом. Відповідне відношення R, задане на лінійно впорядкованій множині, називається лінійним (досконалим) порядком. Таким чином, відношення R на множині M називається відношенням лінійного порядку, якщо воно рефлексивне, антисиметричне, транзитивне і для будь-якої пари елементів a,bM виконується aRb або bRa.

Для позначення відношень порядку будемо використовувати знаки і , які повторюють звичайні математичні знаки і . Тобто для відношення порядку R замість aRb будемо записувати a b або b a і читати "a менше або дорівнює b" або "b більше або дорівнює a" відповідно. Очевидно, що є оберненим відношенням до відношення .

За кожним відношенням часткового порядку на довільній множині M можна побудувати інше відношення < на M, поклавши a < b тоді і лише тоді, коли ab і ab. Це відношення називається відношенням строгого порядку на множині M. Зрозуміло, що відношення строгого порядку антирефлексивне, транзитивне, а також задовольняє умові так званої сильної антисиметричності або асиметричності, тобто для жодної пари a,bM не може одночасно виконуватись a<b і b<a.

З іншого боку, за довільним відношенням строгого порядку < на множині M однозначно можна побудувати відповідне відношення часткового (нестрогого) порядку , поклавши a b тоді і тільки тоді, коли a < b або a = b, a,bM. З огляду на такий простий зв'язок між відношеннями часткового (нестрогого) і строгого порядку можна обмежитись вивченням лише одного з цих порядків, наприклад, .

Приклад 1.17. 1. Відношення і < ( і > ) є відношеннями відповідно часткового і строгого порядку на множинах чисел N, Z і R. Більше того, множини N, Z і R, а також будь-які їхні підмножини, є лінійно впорядкованими множинами за відношеннями або .

2. Частковим порядком є відношення рівності iM на будь-якій множині M. Цей порядок іноді називають тривіальним.

3. Відношення нестрогого включення є відношенням часткового порядку, а відношення - відношенням строгого порядку на множині (A) всіх підмножин (булеані) заданої множини A.

4. Задамо відношення і < на множині R кортежів дійсних чисел довжини n наступним чином: (a1,a2,...,an)(b1,b2,...,bn ), якщо a1b1, a2b2,..., anbn; аналогічно (a1,a2,...,an)<(b1,b2,...,bn), якщо (a1,a2,...,an)(b1,b2,...,bn) і принаймні для однієї координати i=1,,...,n виконується ai<bi.

Тоді (2,3.75,-4)<(2.1, 24,0), але кортежі (1,4,-1.7 ) і (2,2,4) непорівнювані.

Аналогічно може бути введено частковий порядок на множинах Nn, Zn і Qn.

5. Зафіксуємо строгий порядок розташування символів у довільному скінченному алфавіті A={a1,a2,...,an}, наприклад, покладемо, що a1<a2<...<an. Тоді природним чином означається так званий лексикографічний порядок на множині A всіх слів довжини m в алфавіті A. А саме, вважаємо ai1ai2... ain < aj1aj2...ajn тоді і тільки тоді, коли ais = ajs при s=1,2,...,k-1 і aik < ajk для певного k.

Лексикографічний порядок можна поширити на множину A всіх слів в алфавіті A, якщо доповнити алфавіт A додатковим ("порожнім") символом b і вважати, що b<ai, i=1,2,...,n. При порівнюванні двох слів різної довжини спочатку слово меншої довжини доповнюється справа такою кількістю "порожніх" символів b, щоб зрівнятися по довжині з другим словом, після чого обидва слова порівнюються за правилом порівнювання слів однакової довжини.

Нехай A = {a,b,c} і a<b<c, тоді aac<aba, abbc<abcb, ab<abab, b<cba тощо.

Лексикографічний порядок лежить в основі впорядкування всіх словників, енциклопедій, індексів (предметних або іменних покажчиків), довідників, списків, таблиць тощо.

6. В множині N натуральних чисел відношення "ділить" є відношенням часткового порядку. Маємо 4 28, 11 132, 5 5, 1 n для будь-якого nN. Пари 7 і 22, 13 і 35 непорівнювані.

Нехай M частково впорядкована множина і A деяка непорожня підмножина множини M. Верхньою гранню підмножини AM в множині M називається елемент bM такий, що ab всіх aA. Елемент b називається найбільшим елементом множини M, якщо b - верхня грань множини M.

Відповідно, елемент c частково впорядкованої множини M називається нижньою гранню підмножини AM, якщо ca для будь-якого aA. Елемент c - найменший в множині M, якщо c - нижня грань самої множини M.

Таким чином, вважається, що найбільший і найменший елементи, а також верхня та нижня грані (якщо вони існують), є порівнюваними з усіма елементами даної множини M або підмножини A відповідно.

Елемент xM називається максимальним в множині M, якщо не існує елемента aM такого, що x<a. Відповідно, елемент nM називається мінімальним у множині M, якщо не існує елемента aM такого, що a<n. Очевидно, якщо в частково впорядованій множині M існує найбільший елемент, то він же є єдиним максимальним елементом множини M. Аналогічно, найменший елемент множини M - єдиний мінімальний елемент даної множини. Зауважимо також, що частково впорядкована множина M може не мати найбільшого (найменшого) елемента і в той