Рис.1.2.

Відповідність можна задавати, визначаючи співвідношення, яким мають задовольняти її обидві координати. Наприклад, якщо розглянемо класичну координатну площину R2=RR, то маємо такі відповідності C1={(x,y) | x2 + y2 = 1}, C2 = {(x,y) | y = x2 }, C3 = {(x,y)| |x|1, |y|1}. Графіком відповідності C1 є коло радіуса 1 з центром у початку координат, графіком C2 - квадратична парабола, а графіком C3 - всі точки квадрата з вершинами (-1,-1),(-1,1),(1,1) і (1,-1).

Припустимо, що CAB деяка відповідність.

Множина Pr1C називається областю визначення, а множина Pr2C - областю значень відповідності C (інші позначення - С і С відповідно).

Якщо Pr1C=A, то відповідність C називається всюди або повністю визначеною. В противному разі відповідність називається частковою.

Образом елемента aPr1C при відповідності C називається множина всіх елементів bPr2C, які відповідають елементу a.

Прообразом елемента bPr2C при відповідності C називається множина всіх тих елементів aPr1C, яким відповідає елемент b.

Якщо APr1C, то образом множини A при відповідності C називається об’єднання образів усіх елементів з A. Аналогічно означається прообраз деякої множини BPr2C.

Оскільки відповідності є множинами, то до довільних відповідностей можуть бути застосовані всі відомі теоретико-множинні операції: об’єднання, перетин, різниця тощо.

Додатково для відповідностей введемо дві специфічні операції.

Відповідністю, оберненою до заданої відповідності C між множинами A і B, називається відповідність D між множинами B і A така, що
D ={(b,a) | (a,b)C}. Відповідність, обернену до відповідності C, позначають C-1.

Якщо задано відповідності CAB і DBF, то композицією відповідностей C і D (позначається CD ) називається відповідність H між множинами A і F така, що

H = { (a,b)| існує елемент cB такий, що (a,c)C і (c,b)D }.

Розглянемо окремі важливі випадки відповідностей.

Відповідність fAB називається функціональною відповідністю або функцією з A в B, якщо кожному елементові aPr1f відповідає тільки один елемент з Pr2f, тобто образом кожного елемента aPr1f є єдиний елемент з Pr2f. Якщо f - функція з A в B, то кажуть, що функція має тип A B і позначають f:AB або AB. Зокрема, всі функції, які вивчаються в елементарній математиці, є окремими випадками функціональних відповідностей з R2= RR або функціями типу R R.

Всюди визначена функціональна відповідність fAB називається відображенням A в B і записується як і функція f:AB або A B. Відображення називають також всюди або повністю визначеними функціями.

Відображення типу A A називають перетвореннями множини A.

Через BA позначається множина всiх вiдображень з A в B.

Оскільки функція і відображення є окремими випадками відповідності, то для них мають місце всі наведені вище означення: поняття областей визначення та значень, поняття образу та прообразу елементів і множин та ін. Зокрема, для функції f елементи множини Pr1f називають аргументами функції, образ елемента aPr1f позначають через f(a) і називають значенням функції f на a. Прообраз елемента bPr2f позначають через f-1(b). Аналогічно позначаються образ і прообраз множини.

Нехай f:AB функція з множини A в множину B, а g:BC - функція з множини B в множину C. Суперпозицією (композицією) функцій f і g, яка позначається fg, називається функція h:AC така, що h(a) = g(f(a)) для aPr1fA і f(a)Pr1gB.

Відображення f називається сюр’єктивним (сюр’єкцією) або відображенням на множину B, якщо Pr2f = B.

Відображення f називається ін’єктивним (ін’єкцією) або різнозначним відображенням, якщо для кожного елемента bPr2f його прообраз f-1(b) складається тільки з одного елемента. Іншими словами, різним елементам множини A відповідають різні елементи множини B.

Нарешті, відображення, яке є одночасно сюр’єктивним і ін’єктивним, називається бієктивним відображенням або бієкцією.

Бієктивні відображення називають часто також взаємно однозначними відображеннями або взаємно однозначними відповідностями між множинами A і B. Взаємно однозначні відображення відіграють велику роль в математиці, зокрема, в теорії множин.

Таким чином, вiдповiднiсть є взаємно однозначною, тоді і лише тоді, коли вона функцiональна, всюди визначена, сюр’єктивна та iн’єктивна.

Вiдповiднiсть iA = { (a,a) | aA } називається тотожним перетворенням, дiагональною вiдповiднiстю або дiагоналлю в A.

Наведемо приклади відповідностей, відображень та функцій.

Приклад 1.11. 1. Відповідність між клітинками і фігурами на шахівниці в будь-який момент гри є функціональною, але не є відображенням, оскільки не всі поля шахівниці зайняті фігурами.

2. Відповідність між натуральними числами і сумами цифр їх десяткового запису є відображенням. Це відображення не є ін’єктивним, оскільки йому належать такі, наприклад, пари, як (17, 8) і (26,8).

3. Відповідність, за якою кожному натуральному числу nN відповідає число 3n, очевидно, є взаємно однозначною відповідністю між множиною всіх натуральних чисел і множиною натуральних чисел кратних 3.

4. Відповідність між множиною точок координатної площини R2 і множиною всіх векторів із початком у точці (0,0) є взаємно однозначною.

7. Рівнопотужність множин

Усі введені вище теоретико-множинні операції та їхні властивості мають місце як для скінченних, так і для нескінченних множин. Суттєва різниця між скінченними та нескінченними множинами виявляється, коли мова заходить про "кількість елементів" та при спробі порівняти такі множини за "кількістю елементів". Тут слова "кількість елементів" беруться в лапки тому, що зрозуміла умовність та невизначеність цього поняття для нескінченних множин.

Одними з основних досягнень канторівської теорії множин є поширення поняття "кількість елементів" зі скінченних множин на нескінченні та формулювання принципу, за яким можна порівнювати за "кількістю елементів" нескінченні множини. Зокрема, несподіваним та незвичайним виявився той факт, що різні нескінченні множини можуть мати різну "кількість елементів", тобто для нескінченностей також існує своя ієрархія.

Канторівська ідея грунтується