Нехай kK, тоді з умови (k,K)g і правила побудови множини K випливає, що kK.

З іншого боку, якщо припустити, що kK, то з (k,K)g і правила побудови множини K повинно виконуватись kK.

Одержана суперечність доводить неможливість встановлення взаємно однозначної відповідності між A і (A). Таким чином, |A| < |  (A)|.

Наслідок 1.9.1. Не існує множини, яка має найбільшу потужність, тобто не існує найбільшого кардинального числа.

Справді, розглянувши множини N, (N), ((N)),..., одержимо нескінченно зростаючу послідовність відповідних кардинальних чисел 0 ,1 =20,2 =21, ...

На закінчення зупинимось ще на одній цікавій класичній проблемі теорії множин, сформульованій ще у 1884 році Г.Кантором:

гіпотеза континуума, яка стверджує, що не існує множини, кардинальне число якої розташоване між 0 і 1, тобто 0 < < 1.

Ця гіпотеза припускає узагальнення, яке носить назву узагальненої гіпотези континуума:

для довільного кардинального числа деякої нескінченної множини з нерівності ' > для будь-якого кардинального числа ' випливає ' > 2.

Проблему гіпотези континуума майже вісім десятків років намагалися розв’язати найкращі математики світу. I лише у 1963 році тридцятирічний американський математик Пол Коен довів, що гіпотезу континуума не можна ні довести, ні спростувати, виходячи з аксіом теорії множин. Отже, прийняття або відхилення гіпотези континуума є однаково законними, що веде до можливості побудови двох різних несуперечливих теорій множин.

11. Відношення. Властивості відношень

Підмножина R декартового степеня Mn деякої множини M називається n-місним або n-арним відношенням на множині M. Кажуть, що елементи a1,a2,...,anM знаходяться у відношенні R, якщо (a1,a2,...,an)R.

При n=1 відношення RM називають одномісним або унарним. Таке відношення часто називають також ознакою або характеристичною властивістю елементів множини M. Кажуть, що елемент a M має ознаку R, якщо aR і RM. Наприклад, ознаки "непарність" і "кратність 7" виділяють із множини N натуральних чисел унарні відношення R = {2k-1 kN } і R = {7k | kN }, відповідно.

Найбільш популярними в математиці є двомісні або бінарні відношення, на вивченні властивостей яких ми зупинимось детальніше. Далі скрізь під словом "відношення" розумітимемо бінарне відношення. Якщо елементи a,bM знаходяться у відношенні R (тобто (a,b)R), то це часто записують у вигляді aRb. Зауважимо, що бінарні відношення іноді розглядають, як окремий випадок відповідностей, а саме - як відповідності між однаковими множинами.

Приклад 1.13. Наведемо приклади бінарних відношень на різних множинах.

1. Відношення на множині N натуральних чисел:

R1 - відношення "менше або дорівнює", тоді 4R19, 5R15, 1R1m для будь-якого m N ;

R2 - відношення "ділиться на", тоді 4R23, 49R27, mR21 для будь-якого mN ;

R3 - відношення "є взаємно простими", тоді 15R38, 366R3121, 1001R3612;

R4 - відношення "складаються з однакових цифр", тоді 127R4721, 230R 4 302, 3231R 43213311.

2. Відношення на множині точок координатної площини R2:

R5 - відношення "знаходяться на однаковій відстані від початку координат", тоді (3,2) R5 (,-), (0,0)R 5 (0,0) ;

R6 - відношення "симетричні відносно осі ординат", тоді (1,7)R6(-1,7) і взагалі (a,b)R6(-a,b) для будь-яких a,bR ;

R7 - відношення "менше або дорівнює". Вважаємо, що (a,b)R7(c,d), якщо a c і b d. Зокрема, (1,7)R7(20,14), (-12,4)R7(0,17).

3. Відношення на множині студентів даного вузу:

R8 - відношення "є однокурсником",

R9 - відношення "є молодшим за віком від".

Для задання відношень можна користуватись тими ж способами, що і при заданні множин. Наприклад, якщо множина M скінченна, то довільне відношення R на M можна задати списком пар елементів, які знаходяться у відношенні R.

Зручним способом задання бінарного відношення R на скінченній множині M = {a1,a2,...,an} є задання за допомогою так званої матриці бінарного відношення. Це квадратна матриця C порядку n, в якій елемент cij, що стоїть на перетині i-го рядка і j-го стовпчика, визначається так

1, якщо aiRaj,

cij =

0, в противному разі.

Приклад 1.14. Для скінченної множини M = {2,7,36,63,180} матриці наведених вище відношень R1, R2, R3 мають такий вигляд

Рис.1.5.

Оскільки відношення на M є підмножинами множини M 2, то для них означeні всі відомі теоретико-множинні операції. Наприклад, перетином відношень "більше або дорівнює" і "менше або дорівнює" є відношення "дорівнює", об’єднанням відношень "менше" і "більше" є відношення "не дорівнює", доповненням відношення "ділиться на" є відношення "не ділиться на" тощо.

Аналогічно відповідностям для відношень можна означити поняття оберненого відношення і композиції відношень.

Відношення R-1 називається оберненим до відношення R, якщо bR-1a тоді і тільки тоді, коли aRb. Очевидно, що (R-1)-1=R. Наприклад, для відношення "більше або дорівнює" оберненим є відношення "менше або дорівнює", для відношення "ділиться на" - відношення "є дільником".

Композицією відношень R1 і R2 на множині M (позначається R1R2 ) називається відношення R на M таке, що aRb тоді і тільки тоді, коли існує елемент cM, для якого виконується aR1c і cR2b. Наприклад, композицією відношень R1 - "є сином" і R2 - "є братом" на множині чоловіків є відношення R1R2 - "є небожем".

Наведемо список важливих властивостей, за якими класифікують відношення.

Нехай R - деяке відношення на множині M.

а). Відношення R називається рефлексивним, якщо для всіх aM має місце aRa.

Очевидно, що відношення R1,R2,R4,R5,R7 - рефлексивні.

б). Відношення R називається антирефлексивним (іррефлексивним), якщо для жодного aM не виконується aRa.

Відношення "більше", "менше", "є сином" антирефлексивні. В той же час, відношення R6 не є ні рефлексивним, ні антирефлексивним.

Всі елементи головної діагоналі матриці C для рефлексивного відношення на скінченній множині M дорівнюють 1,