YX 5.2

9

фондів випуск продукції зростає на 0,97%.На п’ятому підприємстві при X=9: 5 =0.421· = 0.95,

4

На десятому при X = 10: 10 =0.96%.

Для всіх підприємств разом коефіцієнт еластичності

X 10.8

= a1 = 0.421 · = 0.963 % .

Y 4.72

Це означає, що при збільшенні середньої вартості основних виробничих фондів на 1 % випуск продукції зростає в середньому на 0,963 %.

Якщо залежність між ознаками представити за даними,згладженими параболою другого порядку, то коефіцієнт еластичності має такий вигляд:

X

= (a1 + a2 X ) .

Y

Визначення щільності зв’язку в кореляційно-регресійному аналізі ґрунтується на правилі додавання дисперсій,як і в методі аналітичного групування. Але на відміну від нього, де для оцінки лінії регресії застосовують групові середні результативної ознаки, в кореляційно-регресійному аналізі для цієї мети використовують теоретичні значення результативної ознаки.

Зобразити і обґрунтувати кореляційно-регресійний аналіз можна на прикладі графіка на рис.1. На ньому є три лінії Y – ламана лінія фактичних даних(1),YX - пряма похила лінія 2 теоретичних значень Y при абстрагуванні від впливу всіх факторів, крім фактора X(змінна середня) ,Y – пряма горизонтальна лінія 3, із середнього значення якої виключено вплив на Y всіх без винятку факторів ( стала середня ).

Розбіг лінії змінної середньої Yх з лінією сталої середньої Y пояснюється впливом факторної ознаки Х, що,в свою чергу , свідчить про існування між ознаками Y і X наповного не функціонального зв’язку.Для визначення щільності цього зв’язку потрібно обчислити дисперсію відхилень Y і Yх , тобто залишкову дисперсію,яка зумовлена впливом усіх факторів, крім Х. Різниця між загальною і залишковою дисперсіями дає теоретичну

( факторну ) дисперсію , яка вимірює варіацію,зумовлену фактором Х . На зіставленні цієї різниці із загальною дисперсією побудовано індекс кореляції, або теоретичне кореляційне відношення:

2 заг - 2 е 2 е 2 у

R = = 1 - , або R =

2 заг заг 2 заг

де 2 заг - загальна дисперсія, 2 е - залишкова дисперсія, 2 у - факторна ( теоретична ) дисперсія.

Факторну дисперсію обчислюють з теоретичних значень за формулою :

( Yx - Y ) 2

2Y =

n

або за формулою без теоретичних значень:

( a 0 Y + a 1 XY ) – (Y) 2

2Y = .

n

( Y – Y x )

Залишку дисперсію визначають або за формулою 2 е =

n

або за правилом додавання дисперсій 2 е = 2 заг - 2 Y .

У наведеному прикладі ( за даними розрахунків у табл..1 ) факторна дисперсія

( 0.167 · 47.2 + 0.421 · 539.1 ) - 4.72 2

2 Y = = 1.206.

10

Загальну дисперсію обчислимо за формулою

2 заг = Y2 - ( Y )2 = 23.974 – 22.278 = 1.696.

Залишкову дисперсію визначаємо як різницю між загальною і факторною дисперсіями :

2 е = 2 заг - 2Y = 1.696 –1.206 = 0.409

Отже, знаходимо індекс кореляції за наведеними вище формулами :

2 заг - 2 е 1.696 - 0.490

R = = = 0.843.

2 заг 1.696

або 2 е 0.490

R = 1 - = 1 - = 0.843

2 заг 1.696

2 Y 1.206

або R = = = 0.711 = 0.843

2 заг 1.696

Індекс кореляції вказує на щільну залежність випуску продукції від вартості основних виробничих фондів.

Коефіцієнт детермінації ( R 2 ) характеризує ту частину варіації результативної ознаки Y, яка відповідає лінійному рівнянню регресії :

2Y 1.206

R2 = = = 0.711

2 заг 1.696

Отже, в обстеженій сукупності заводів 71.1% варіації випуску продукції пояснюється різними рівнями оснащеності заводів основними виробничими фондами.

Індекс кореляції набирає значень від 0 до 1. Коли R=0, то зв’язку між варіацією ознак Y i X немає.Залишкова дисперсія дорівнює загальній, 2 е = 2 заг , а теоретична дисперсія дорівнює нулю, 2 заг= 0, Всі теоретичні значення YX збігаються із середніми значеннями Y, лінія YX на графіку збігається з лінією Y, тобто набуває горизонтального положення .

При R=1 теоретична дисперсія дорівнює загальний, 2 Y = 2 заг , а залишкова 2 е = 0.

Фактичні значення Y збігаеться з теоретичними YX , зв’язок між досліджуваними ознаками лінійно-функціональний.

Індекс кореляції оцінює щільність зв’язку.Він, як і емпіричне кореляційне відношення,вимірує лише щільність зв’язку і не вказує на її напрямок.

Аби доповнити дослідження визначенням напрямку зв’язку в разі лінійної залежності використовують лінійний коефіцієнт кореляції.

XY – X Y

r = .

x у

Значення r коливається в межах від – 1 до +1. Додатне значення відповідає прямову зв’язку між ознаками, а від’ємне – зворотному. Оцінюють щільність зв’язку за схемою ( табл. 1 )

Таблиця 2

Зв’язок | Лінійний коефіцієнт кореляції

Прямий зв’язок | Зворотний зв’язок

Слабкий

Середній

Щільний | 0.1....0.30

0.3....0.70

0.7....0.99 | 0.1... - 0.30

0.3....- 0.70

0.7....- 0.99

Всі дані для обчислення лінійного коефіцієнта кореляції в наведеному прикладі є в табл.1.

x= Х2 - (Х)2 = 123.6 – 10.82 = 6.96 = 2.638

y= Y2 - (Y)2 = 23.974 – 4.722 = 1.302

XY –