Кореляційний і регресивний методи аналізу зв’язку.

Основне завдання кореляційного і регресійного методів полягає в аналізі статистичних даних для виявлення метематичної залежності між досліджуваними ознаками і встановлення за допомогою коефіцієнта кореляції порівняльної оцінки щільності взаємозв’язку.

Після того, як через економічний аналіз встановлено, що зв’язок між явищами є, і визначено загальний характер цього зв’язку, статистика за допомогою кореляційного і регресійного методів надає цим зв’язкам числового виразу.

Кореляційний і регресій ний методи аналізу вирішують два основні завдання :

визначають за допомогою рівнянь регресії аналітичного форму зв’язку між

варіацією ознак X i Y,

встановлюють ступінь щільності зв’язку між ознаками.

Найчастіше трапляються такі типи кореляційних зв’язків:

факторна ознака безпосередньо пов’язана з результативною,

результативна ознака визначається комплексом діючих факторів,

дві результативні ознаки спричинені дією однієї загальної причини.

У практиці економіко- статистичних досліджень часто доводиться мати справу з прямолінійною формою зв’язку описує рівняння регресії ( рис.1 ) .

На цьому графіку середній арифметичній результативної ознаки Y відповідає пряма, паралельна осі абцис, лінійне кореляційне рівняння Y(X) зображує похила пряма, а кут нахилу між ними характеризує щільність зв’язку.

Рівняння регресії характеризує зміну середнього рівня результативної ознаки Y залежно від зміни факторної ознаки X. Воно визначає математичне сподівання групових середніх результативної ознаки під впливом різних значень факторної ознаки.

У разі лінійної форми зв’яку результативна ознака змінються під впливом факторної ознаки рівномірно:

Yx = a0 +a1 X,

Де, Yx - згладжене середнє значення результативної ознаки , X - факторна ознака,

a0 і a1 - параметри рівняння , a0 – значення Y при X = 0, a1 – коефіцієнт регресії.

Коефіцієнт регресії a1, вказує на те, наскільки змінюється результативна ознака Y внаслідок зміни факторної ознаки X на одиницю.

Якщо a1 має позитивний знак, то зв’язок прямий, якщо від’ємний - зв’язок обернений.

Y X

Y(X)

Y

0

X

Рис. 1. Теоретична лінія регресії .

Параметри рівняння зв’язку визначають за способом найменших квадратів складеної і розв’язаної системи двох рівнянь з двома невідомими:

Y= na0 +a1 X ,

YX= a0 X + a1 X 2,

де n - число членів у кожному з двох порівнюваних рядів,

X - сума значень факторної ознаки , X 2 - сума квадратів значень факторної ознаки , Y - сума значень результативної ознаки, YX - cума добутків значень факторної та результативної ознак.

Розв’язавши дану систему рівнянь, дістанемо такі параметри:

X 2 Y - X XY n XY - X Y

a0 = , a1 =

n X 2 - X X n X 2 - X X

Обчисливши за фактичними даними всі записані вище суми й підставивши їх у наведені формули, знайдемо параметри прямої.

Розглянемо розрахунок параметрів лінійного рівняння зв’язку між вартістю основних виробничих фондів і випуском продукції за даними десяти однорідних підприємств. (табл.1.)

Табл. 1

Розрахунки для визначення параметрів лінійного рівняння зв’язку факторної та результативної ознак.

Номер

заводу | Вартість основних виробничих фондів X,

млн. грн | Випуск продукції Y, млн. грн | X 2 | XY | Y2 | Yx = 0.167+0.421X

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 | 12

8

10

6

9

15

11

13

14

10 | 5,6

4,0

4,0

2,4

3,6

5,0

4,6

6,5

7,0

4,5 | 144

64

100

36

81

225

121

169

196

100 | 67,2

32,0

40,0

14,4

32,4

75,0

50,6

84,5

98,0

45,0 | 31,36

16,00

16,00

5,76

12,96

25,00

21,16

42,25

49,00

20,25 | 5,2

3,5

4,4

2,7

4,0

6,5

4,8

5,6

6,1

4,4

Разом | 108 | 47,2 | 1236 | 539,1 | 239,74 | 47,2

У середньому на один завод | 10,8 | 4,72 | 123,6 | 53,91 | 23,972 | -

За способом найменших квадратів визначимо параметри :

1236 · 47.2 – 108 · 539.1 58339.2 – 58222.8 116.4

a0 = = = = 0.167

10 · 1236 – 108 · 108 12360 – 11664 696.0

10 · 539.1 – 108 · 47.2 5391.0 – 5097.6 293.4

a1 = = = = 0.421

696.0 696.0 696.0

Тоді лінійне рівняння регресії зв’язку між вартістю основних виробничих фондів і випуском продукції матиме такий вигляд :

Yx = 0.167 + 0.421X.

Отже, при збільшенні вартості основних виробничих фондів на 1 млн грн. Випуск продукції зросте на 0,42 млн грн.

Послідовно підставляючи в дане рівняння значення факторної ознаки X , дістанемо згладжені значення результативної ознаки Yx, які й укажуть на те, яким має бути середній розмір випущеної продукції для даного розміру основних виробничих фондів ( за інших рівних умов ).

Згладжені ( теоретичні ) значення ( із заокругленням до десятих ) наведено в останній графі табл. 1. Якщо параметри рівняння визначено правильно,то

Y = Yх = 47,2.

Побудуємо графік, який покаже згладжування емпіричних даних рівняння прямої ( рис.1.).

Y

Рис. 2. Емпіричний і згладжені рівні ряду : 1 - Y, 2 - Yx =0.167+ 0.421 X, 3- Y = 4.72

Для економічної інтерпретації лінійних і нелінійних зв’язків між двома досліджуваними явищами часто використовують розраховані за рівняннями регресії коефіцієнти еластичності.

Коефіцієнт еластичності показує,на скільки процентів зміниться в середньому результативна ознака Y при змінені факторної ознаки X на 1 %.

Відповідно до лінійної залежності коефіцієнт еластичності визначається за формулою

X X

= a1 або = a1 ,

Yx Y

де , коефіцієнт еластичності.

Підставивши в формулу різні значення X, дістанемо різні .

У наведеному прикладі коефіцієнт еластичності на першому підприємстві при X= 12:

X 12

1 = a1 = 0.421· = 0.97. Отже, 1% приросту вартості основних виробничих

YX 5.2