Дії з векторами.

Означення. Сумою двох векторів та називають вектор , який сполучає початок вектора з кінцем вектора при умові, що початок вектора вміщено в кінець вектора .

Наприклад, задані вектори та (мал. 6а). Для побудування суми цих векторів перенесли паралельно самому собі, в його кінець вмістили початок вектора та сполучили початок вектора з кінцем вектора (Мал.1).

а) b)

Мал.1

Суму кількох векторів , , … , визначають аналогічно: початок кожного слідуючого вектора вміщують в кінець попереднього. Одержують ламану лінію і тоді вектор, який сполучає початок першого вектора з кінцем останнього і є сумою цих всіх векторів.

Зауваження. Різницю двох векторів та будують як суму вектора та вектора (-).

Наприклад,

Мал.7

Означення. Добутком вектора на число k називають вектор , колінеарний з вектором , що має довжину в k раз більшу, ніж та напрям такий самий, як , якщо k > 0 і протилежний до , якщо k < 0.

Означення. Скалярним добутком векторів та називають число, яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косінус кута між ними. Скалярний добуток векторів та позначають , або (,).

Отже, згідно з означенням:

=

(1)

Тепер розглянемо дії з векторами, заданими в координатній формі.

Правило множення вектора на число.

Щоб помноживши вектор на число k, треба усі координати вектора помноживши на число k, тобто k =

Правило знаходження алгебраїчної суми векторів.

Координати алгебраїчної суми скінченної кількості векторів дорівнюють такій же алгебраїчній сумі відповідних координат цих векторів.

Так, у випадку алгебраїчної суми трьох векторів:

, ,

їх алгебраїчна сума знаходиться за формулою

=

Знаходження скалярного добутку векторів та

Згідно з правилом множення матриць одержимо:

=

(2)

тобто скалярний добуток двох векторів дорівнює сумі добутків їх однойменних координат.

Якщо = , тоді кут між ними дорівнює нулю, і з формули (1) випливає, що .

Звідси одержуємо , або враховуючи формулу (2)

(3)

Із формули (1) маємо:

(4)

Підставимо формули (2) та (3) у формулу (4), тоді одержимо формулу для знаходження косінуса кута між векторами та у вигляді:

(5)

Якщо , тоді і одержимо = 0 (6)

Приклад. Знайти кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах = (2,1,0) та = (0,-2,1).

Розв’язування. За умовою задачі паралелограм побудовано на векторах та (дивись Мал.2.)

Мал.2

Позначимо цей паралелограм АВСD ( та - довільні);

Отже, діогоналі паралелограма, побудованого на векторах та (довільні) будуть вектори та Знайдемо координати цих векторів для заданих векторів та ;

= (2+0; 1+(-2); 0+1) = (2; -1; 1)

= (2-0; 1-(-2); 0-1) = (2; 3; -1)

Тепер за формулою (5) можна знайти косінус потрібного кута, який позначимо :

З рівності випливає, що , тобто ці вектори взаємно перпендикулярні.