Нехай задано функцію однієї змінної у = f(х) з областю визначення .

Візьмемо два значення х з проміжку х10 і х1. Різниця між двома значеннями аргументу називається приростом аргументу і позначається через :

xl - х10 = (51)

Звідси випливає, що приріст аргументу > 0, якщо х1 > х10, і < 0, якщо х1 < х10. Знайдемо значення функції в точках х10 і х1:

і

Приростом функції називається різниця між двома значеннями функції (рис. 1) і позначається :

Часто одне із значень аргументу або функції, наприклад х10 або у10, називається початковим значенням аргументу або функції, a xl або у1 — нарощеним значенням аргументу або функції.

рис.1

За формулами (5.1) і (5.2) можна виразити нарощене значення аргументу (функції) через початкове значення і приріст:

,

або

Пропустимо індекс «10» у позначенні аргументу х10 і функції у10 = f(х10), під-креслюючи тим самим довільний вибір фіксованого значення незалежної змінної. Нарощене значення аргумен-ту позначимо через х1 = х + , а відповідне йому значення функції .. Тоді

Нехай задано функцію n змінних и = f(х1, х2, ..., хn), визначену у деякій області D. Виберемо в D фіксовану точку М0 (х10, х20, ..., хn0) і змінну точку М (х1, х2, ..., хn).

Знайдемо значення функції у кожній з цих точок

і

Різниці

,

,

…….

(5.3)

називаються приростами незалежних змінних х1, х2, ..., хn.

Прирости прийнято позначати через і, або h1 і = 1,2, 3, ..., n.

Різниця значень функцій у змінній та фіксованій точках називається повним приростом функції п змінних у фіксованій точці.

Позначають повний приріст символом , тобто

,

або

Як і для функції однієї змінної, числа називаються початковими значеннями функції і аргументів, а — нарощеними значеннями.

Якщо з рівностей (5.3) знайти нарощені значення аргументів

,

то повний приріст функції

виразимо через прирости всіх незалежних змінних.

Для функції двох незалежних змінних

приростами незалежних змінних є

,

а повний приріст функції

Для функції трьох незалежних змінних

приростами незалежних змінних є

,

а повний приріст функції

(5.5)

Якщо початкові значення аргументів або функції позначити че-рез х1, х2, ..., хn або и то повний приріст функції n змінних запи-шемо у вигляді

Якщо у виразі (5.4) покласти х1 = х, у1 = у, то повний приріст функції двох змінних запишемо у вигляді

Аналогічно, поклавши в (5.5) х1 = х, у1 = у, z1 = z, знаходимо

При визначенні повного приросту функції багатьох змінних припускають, що всі незалежні змінні одночасно набувають приросту. Однак приріст кожної незалежної змінної, у свою чергу, є величи-ною, що не залежить від приросту інших незалежних змінних.

Припустимо, що серед незалежних змінних функції

лише одна хі набула приросту і, а решта змінних не змінили свої значення. Тоді нарощеним значенням функції є

а початкове

.

Запишемо приріст функції, спричинений приростомі:

Частинним приростом функції п змінних по одній змінній називається різниця між нарощеним значенням функції і початковим у припущенні, що лише ця змінна набула відмінного від нуля приросту.

Очевидно, що для функції n змінних можна побудувати n частинних приростів.

Так, для функції двох змін-них частинний приріст по х за-пишемо у вигляді

,

а частинний приріст по у

Для функції трьох змінних частинні прирости по х, у і z відповідно мають вигляд

Зазначимо, що частинні прирости функції багатьох змінних, а також їх сума не завжди збігаються з повним приростом. На рис. зображено частинні прирости , і повний приріст функції двох змінних z = f(х, у).

Приклад. Для функції z = f (х, у) = х2у знайти прирости , , .

Розв’язання.

;

;

Всі прирости різні і

.