Поняття функції

Вивчаючи те чи інше явище, ми, як правило, оперуємо кількома ве-личинами, які пов'язані між собою так, що зміна деяких з них приво-дить до зміни інших.

Такий взаємозв'язок у математиці виражається за допомогою функ-ції. Цей термін вперше ввів Г. Лейбніц.

Приклади

1. Нехай електричне коло складається з джерела постійної напруги U і реоста-та R. При зміні опору й змінюватиметься сила струму. Напруга U — величина стала (в даному колі), а опір R і струм І — змінні, причому І змінюється залежно від змі-ни R за законом Ома: І = , тобто сила струму І є функція опору R.

2. Під час вільного падіння тіла пройдений шлях S залежить від зміни часу t. Зв'язок між змінними величинами S і t задається формулою

де g — прискорення при вільному падінні (стала величина). Величина S залежить від зміни величини t, тобто шлях S є функцією часу t.

Спільним у цих прикладах є те, що зв'язок між змінними величинами описується певним правилом (залежністю, законом, відповід-ністю) так, що кожному значенню однієї величини (R, Р, t, d) від-повідає єдине значення другої (I, V, S, l).

Дамо тепер означення функції. Якщо кожному числу х з деякої числової множини X за певним правилом поставлене у відповідність єдине число у, то кажуть, що у є функція від х і пишуть у = f(х), хХ. Це означення належить М.І. Лобачевському і Л. Діріхле.

Змінна х називається незалежною змінною, або аргументом, а змінна у — залежною змінною, або функцією; під символом f розуміють те правило, за яким кожному х відповідає у, або ті операції, які треба виконати над аргументом, щоб дістати відповідне значення функції.

Множина X називається областю визначення функції. Множина Y усіх чисел у, таких, що у= f (х) для кожного х X називається множиною значень функції, тобто

Іноді у означенні функції припускають, що одному значенню аргумента відповідає не одне, а кілька значень у або навіть нескінченна множина значень у. У цьому випадку функцію називають багато-значною, на відміну від означеної вище однозначної функції. Прикла-дами многозначних функцій є у = ± , у = Агсsіn х тощо. Надалі ми розглядатимемо лише однозначні функції.

У ширшому розумінні поняття функції вживається як синонім поняття відображення множини на множину.

Нехай задано дві непорожні множини X і Y з елементами х X і у Y і нехай перетворення f переводить х в у. Тоді це перетворен-ня f (правило, закон, відповідність, відображення, залежність) нази-вають функцією і пишуть

(X та Y множини деяких елементів, не обов'язково числові).

У цьому випадку, як і у випадку числових множин X та Y, ці множини називають областю визначення та множиною значень функції. Залежно від природи множини X та Y для функції f вживають різні назви. Так, якщо X та Y — множини дійсних чисел, то кажуть, що f — дійсна функція дійсного аргументу; якщо X — множина ком-плексних чисел (гл. 7, п. 14), а Y — множина дійсних чисел, то f — дійсна функція комплексного аргументу; якщо X — множина функ-цій, а Y — числова множина, то f називається функціоналом.

Порівнюючи означення функції, бачимо, що в першому з них під функцією у = f(х) розуміють її значення — число у. За другим означенням функція — це закон або правило f, за яким кожному елементу хX ставиться у відповідність єдиний елемент уY. Таким чином, за першим означенням поняття функції зводиться до поняття змінної величини, а за другим — до поняття відповідності. Іноді поняття функції виражається і через інші поняття (наприклад, множину). Надалі користуватимемось першим означенням функції.

У курсі математичного аналізу розглядають функції, для яких область визначення X і множина значень Y складаються з дійсних чисел. Тому під поняттям «число», якщо не зроблено застереження, розумітимемо дійсне число.

З означення функції не випливає, що різним значенням аргументу відповідають різні значення функції. Функція може в усій області визначення набувати кількох або навіть одного значення. Зокрема, якщо множина значень функції складається лише з одного числа с, то таку функцію називають сталою і пишуть у = с.

Способи задання функцій

Щоб задати функцію у = f (х), треба вказати її область визначен-ня X, множину значень Y і правило f, за яким для довільного числа х X можна знайти відповідне йому число у Y.

Основні способи задання функції: аналітичний, графічний і табличний.

При аналітичному способі задання функції відповідність між аргументом і функцією задається формулою (аналітичним виразом), де зазначено, які дії потрібно виконати над значенням аргументу та сталими числами, щоб дістати відповідне значення функції. Якщо при цьому область визначення не вказується, то під останньою розумі-ють область існування функції — множину всіх дійсних значень аргу-менту, для яких аналітичний вираз має зміст.

Зауваження. Не слід ототожнювати функцію і формулу, за допомогою якої ця функція задана. Однією й тією формулою можна задавати різні функції, і навпаки, одна й та сама функція на різних ділянках її області визначення може задаватись різними формулами. Так, функції у = х3, х І0; 1] і у = х3, х (2; 5) — різні, бо вони мають різні області визначення; функція

визначена на проміжку (, але для недодатних і додатних значень аргументу її задано різними формулами.

Приклад

Знайти області визначення функції:

а)

б)

в)

г) y =

д) у =