Поняття функції

Поняття функції є основним не тільки в математичному аналізі, де вона вивчається спеціально, а й у всій математиці в цілому.

Означення

Якщо кожному елементу х множини х (х є х) за деяким законом ставиться у відповідність певний елемент у множини у (у є у), тоді говорять, що на множині х задано функцію у = f(x).

Змінну величину х називають незалежною змінною або аргументом, у – незалежною, а літера f позначає закон відповідності.

Множина х називається областю визначення функції, а множина у – областю значень функції.

Якщо множина у спеціально не вказано, то під областю визначення функції вважатимемо множину таких значень х, при яких функція у= f(х) взагалі має зміст.

Наприклад

Областю визначення функції у = х2 + є пів інтервал , оскільки 5 – х 0.

Існує кілька способів здання функції. Найпоширеніші серед них такі.

1. Аналітичний спосіб: якщо функцію задано формулою вигляду у = f(х). Так, функцію у = х2 + задано аналітично.

2. Табличний спосіб: полягає в тому, що функція задається таблицею, яка містить значення аргументу х і відповідні значення функції f(х). Наприклад, таблиця синусів або косинусів.

3. Графічний спосіб: полягає у зображенні рафіка функції – множини точок (х, у) площини, абсциси яких є значенням аргументу х, а ординати – відповідні їм значення функції у = f(х). При цьому способі функціональна залежність зображується лінією, яку називають графіком функції.

Якщо рівняння, що зв’язує аргумент х з функцією у, не розв’язано відносно у, а задано у вигляді f(х, у) = 0, тоді змінну у називають неявною функцією х, (наприклад, 3х – 7у = 6).

Застосування функції в економіці

Спектр використання функцій в економіці досить широкий. Найчастіше використовуються в економіці такі функції:

1. Функція корисності – залежність корисності, тобто результату, ефекту деякої дії, від рівня (інтенсивності) цієї дії.

2. Виробнича функція – залежність результату виробничої діяльності від факторів, які його зумовлюють.

3. Функція випуску (частковий вид виробничої функції ) – залежність обсягу виробництва від наявності або споживання ресурсів.

4. Функція витрат (частковий вид виробничої функції) – залежність витрат виробництва від обсягу продукції.

5. Функція попиту, споживання і пропозиції – залежність обсягу попиту, споживання або пропозиції щодо окремих товарів або послуг від різних факторів.

Враховуючи, що економічні явища і процеси обумовлені впливом різних факторів, для їх дослідження широко використовують функції багатьох змінних.

Під впливом побічних факторів можна знехтувати або вдасться зафіксувати ці фактори на певних рівнях, то залежність одного основного фактора вивчається за допомогою функції одної змінної.

Зупинимося на одному важливому прикладі застосування функції в економіці – використання таблиць функцій, які дають змогу провести різні розрахунки, виключити або спростити громіздкі обчислення.

При обчисленні з допомогою таблиць доводиться стикатися із ситуацією, коли аргумент функції заданий з більшою точністю, ніж дозволяє таблиця. В такому випадку бажано вдатися до інтерполяції – наближеного знаходження невідомих значень функцій за відомими її значеннями у заданих точках.

Найпростішим є лінійне інтерполювання, при якому допускається, що приріст функції пропорційний приросту аргументу. Якщо задане значення х лежить між приведеними в таблиці значеннями х0 і х1 = х0 + , яким відповідають значення функції у0 = f(х0) і у1 = f(х0) + f, то вважають, що f(х) = f(х0) + (рис.1).

Величини називаються інтерполяційними поправками. Ці величини обчислюються за допомогою таблиці або наводяться в додатку до таблиці.

Якщо згідно з заданим значенням функції потрібно знайти найближче значення аргументу, то треба здійснити обернене інтерполювання.

Приклад 1. Функція у = f(х) задана таблицею:

х | 2 | 2,04 | 2,08

у | 2,42 | 2,88 | 3,38

Використовуючи лінійне інтерполювання, знайти f(2,008)

Чому дорівнює х, якщо f(х) = 3,1

Маємо х0 = 2; =2,42; х1 = 2,04; = 2,88; h = х1 - х0 = 2,04 – 2,0 = 0,04; = - = 2,88 – 2,42 = 0,46.

Згідно з інтерполяційною формулою дістанемо

2. Обернене інтерполювання можна здійснити за тією самою формулою, але потрібно поміняти місцями змінні х і у:

де х = - невідоме значення оберненої функції.

Маємо у0 = 2,88; ( у0) = 2,04; у1 = 3,38; ( у1) = 2,08; h = у1 - у0 = 3,38 – 2,88 = 0,50; = ( у1) - ( у0) = 2,08 – 2,04 = 0,04.

Згідно з інтерполяційною формулою дістанемо

х = (3,1) 2,04 +

Точність знаходження невідомих значень з допомогою лінійного інтерполювання не завжди є достатньою, а тому використовують ще й інші методи інтерполювання, наприклад квадратичне інтерполювання.

Основні властивості функцій.

1. Парність і непарність: Функція у = називається парною, якщо для будь-яких значень х із області визначення = , і непарною, якщо = -. В іншому випадку функція у = називається функцією загального вигляду.

Наприклад функція у = х2 є парною, оскільки = (-х)2 = х2 і =, а функція у = х3 – непарною, оскільки = (-х)3 = - х3 і = -.

Крім того, функція у = х2 + х3 є функцією загального вигляду, оскільки = (-х)2 + (-х)3 = х2 - х3,

і -.

Графік першої функції симетричний відносно осі ординат, а графік непарної функції симетричний відносно початку координат.

2. Монотонність: Функція у = називається зростаючою (спадною) на проміжку х, якщо більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше (менше) значення функції.

Нехай х1, х2 х і х2 х1. Тоді функція зростає на проміжку х, якщо ,