Невласні інтеграли Поняття та різновиди невласних інтегралів

Згідно з теоремою існування визначеного інтеграла цей інте-грал існує, якщо виконані умови:

1) відрізок інтегрування [а, b] скінчений;

2) підінтегральна функція f(x) неперервна або обмежена і має скінченну кількість точок розриву. Якщо хоч би одна із умов не виконується, то визначений інтеграл називають невласним.

Якщо не виконується перша умова, тобто b = ? або а = ? або а = -? та b = ?, то інтеграли називають невласними інтегралами з нескінченними межами.

Якщо не виконується лише друга умова, то підінтегральна функція f(x) має точки розриву другого роду на відрізку інтегрування [а, b]. В цьому випадку називають невласним інтегралом від розривної функції або від функції, необмеженої в точках відрізку інтегрування.

1. Невласні інтеграли з нескінченними межами інтегрування (невласні інтеграли першого роду).

Нехай функція f(х) визначена на проміжку [a; +?) і інтегрована на будь-якому відрізку [а, b], де — ? < a < b < +?. Тоді, якщо існує скінченна границя

(51)

її називають невласним інтегралом першого роду і позначають так:

(52)

Таким чином, за означенням

(53)

У цьому випадку інтеграл (52) називають збіжним, а підінтегральну функцію f(x) — інтегровною на проміжку [а; +?).

Якщо ж границя (51) не існує або нескінченна, то інтеграл (52) називається також невласним, але розбіжним, а функція f(х) — неінтегровною на [a; +?).

Аналогічно інтегралу (53) означається невласний інтеграл на проміжку (-?; b]:

(54)

Невласний інтеграл з двома нескінченними межами визначається рівністю

(55)

де с — довільне дійсне число. Отже, інтеграл зліва у формулі (55) існує або є збіжним лише тоді, коли є збіжними обидва інтеграли справа. Можна довести, що інтеграл, визначений формулою (55), не залежить від вибору числа с.

З наведених означень видно, що не-власний інтеграл не є границею інтегра-льних сум, а є границею означеного ін-теграла із змінною межею інтегрування.

Зауважимо, що коли функція f(x) неперервна і невід'ємна на проміжку [а; +?) і коли інтеграл (53) збігається, то природно вважати, що він виражає площу необмеженої області (рис. 7.12).

рис. 7.12

Приклад.

Обчислити невласний інтеграл або встановити його розбіжність:

а) б)

в) д)

а) За формулою (53) маємо

Отже інтеграл а) збігається.

б)

Оскільки ця границя не існує при а > -?, то інтеграл б) розбіжний.

в)

Отже інтеграл в) розбіжний,

г) Якщо = 1, то

Якщо ? 1, то

Отже інтеграл г) є збіжним при > 1 і розбіжним при ? 1.

У розглянутих прикладах обчислення невласного інтеграла грунтувалося на його означенні. Проте у деяких випадках немає необхідності обчислювати інтеграл, а достатньо знати, збіжний він чи ні. Наводимо без доведення деякі ознаки збіжності.

Теорема 1. Якщо на проміжку [а; +?) функції f(x) і g(x) неперервні і задовольняють умову 0 ? f(x) ? g(x), то із збіжності інтеграла

(56)

випливає збіжність інтеграла

(57)

а із розбіжності інтеграла (57) випливав розбіжність інтеграла (56).

Наведена теорема має простий геометричний зміст (рис. 7.13); якщо площа більшої за розмірами необмеженої області є скінченне число, то площа меншої області є також скінченне число; якщо пло-ща меншої області нескінченно велика величина, то площа більшої області є також нескінченно велика величина.

Приклад

Дослідити на збіжність інтеграли:

а) ;

а) Оскільки :

і інтеграл збігається, то за теоремою і заданий інтеграл також збігається.

б) Цей інтеграл розбігається, бо :

і інтеграл розбігається.

Теорема 2. Якщо існує границя

, ,

то інтеграли (56) і (57) або одночасно обидва збігаються, або одно-часно розбігаються.

Ця ознака іноді виявляється зручнішою, ніж теорема 1, бо не потребує перевірки нерівності 0 f(x) ? g(х).

Приклад

Дослідити на збіжність інтеграл

Оскільки інтеграл збігається і

то заданий інтеграл також збігається.

В теоремах 1 і 2 розглядались невласні інтеграли від невід'єм-них функцій. У випадку, коли підінтегральна функція є знакозмінною, справедлива така теорема.

Теорема 3. Якщо інтеграл збігається, то збігається й інтеграл .

Приклад

Дослідити на збіжність інтеграл .

Тут підінтегральна функція знакозмінна. Оскільки

то заданий інтеграл збігається.

Слід зауважити, що із збіжності інтеграла не випливає, взагалі кажучи, збіжність інтеграла . Ця обставина виправдовує такі означення.

Якщо разом з інтегралом збігається й інтеграл , то інтеграл називають абсолютно збіжним, а функцію f(x) — абсолютно інтегровною на проміжку [а; +?).

Якщо інтеграл збігається, а інтеграл розбігається, то інтеграл називають умовно (або неабсолютно) збіжним.

Тепер теорему 3 можна перефразувати так: абсолютно збіжний інтеграл збігається .

Отже, для знакозмінної функції викладені тут міркування дають змогу встановити лише абсолютну збіжність інтеграла. Якщо ж невласний інтеграл збігається умовно, то застосовують більш глибокі ознаки збіжності [II].

Приклад

Дослідити на збіжність інтеграл

Оскільки

то за теоремою 3 інтеграл збігається.

Отже, збігається, причому абсолютно, і заданий інтеграл, а функція f(x) = на проміжку [0; +?) є абсолютно інтегровною.

2. Невласні інтеграли від необмежених функцій (невласні інтеграли другого роду).

Нехай функція f(x) визначена на про-міжку [а, b). Точку х = b назвемо особливою точкою функції f(х), якщо f(x) > ? при х > b - 0 (рис. 7.14). Нехай функція f(x) інтегровна на відрізку [а; b — ] при довільному > 0 такому, що b - > ; тоді, якщо існує скінченна границя

(58)

її називають невласним інтегралом другого роду і позначають так:

(59)

Отже, за означенням

У цьому випадку кажуть, що інтеграл (59) існує або збігається. Якщо ж границя (58) нескінченна або не існує, то інтеграл (59) також називають невласним інтегралом, але розбіжним.

Аналогічно якщо х = — особлива точка (рис. 7.15), то невласний інтеграл визначається так:

Якщо f(x) необмежена в околі якої-небудь