(101)

де a, b - невідомі коефіцієнти; г - число коренів характеристичного рівняння (93), які дорівнюють і.

Зауваження. 1. Шукані многочлени у формулах (94), (96) і (97) мають бути повними, тобто містити всі степені х від 0 до n, незалежно від того, чи повним є заданий многочлен . Те саме стосується многочленів QS(x) та LS(x) у формулі (99), причому невизначені коефіцієнти при одних і тих же степенях х у цих многочленах повинні бути, взагалі кажучи, різними.

Зауваження 2. Якщо права частина рівняння (91) є сумою декількох різних за структурою функцій виду (92) або (98), то для відшукання частинного розв'язку потрібно використати теорему про накладання розв'язків (п. 3.4).

Зауваження 3. Використаний метод підбору окремого ча-стинного розв'язку рівняння (91) можна застосовувати лише для пев-них диференціальних рівнянь, а саме для лінійних рівнянь із сталими коефіцієнтами І з спеціальною правою частиною виду (92) або (98). В інших випадках частинний розв'язок треба шукати методом варіа-ції довільних сталих.

Приклади

1. Розв'язати рівняння у" — 2у' + у = 2х + 3.

Характеристичне рівняння має корені = z = 1, тому загальний розв'язок однорідного рівняння має вигляд (х) = . Ос-кільки правою частиною даного рівняння є функція виду , причому = 0, ? ? , то за формулою (94) частинний розв'язок шукаємо у вигляді тобто , де А і В — невідомі коефіцієнти. Знайшовши похідні у*' = В, у*" = 0 і підставивши їх у рівняння, дістанемо—

2В + А + Вх = 2х + 3.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях, дістаємо систему рівнянь

звідки В = 2, А = 7. Отже, частинний розв'язок даного рівняння має вигляд у* = 7 + 2х, тому

шуканий загальний розв'язок.

2. Розв'язати рівняння у" — 3у' + 2у = 8.

Характеристичне рівняння має корені = 1 і = 2, тому загальний розв'язок однорідного рівняння має вигляд . Оскільки правою частиною даного рівняння є функція виду Р0(х)е3х, причому = 3, ? , ? , то частинний розв'язок шукаємо у вигляді

у* = Q0(х) е3х, тобто у* = Ае3х,

де А — невідомий коефіцієнт.

Знайшовши похідні (у*)' = 3Ае3х, (у*)" = 9Аe3х і підставивши їх у рівняння, дістанемо

,

звідки А = 4, тому у* = 4е3х — частинний розв'язок даного рівняння, а у = — його загальний розв'язок.

Лінійні диференціальні рівняння n-го порядку

Застосуємо методи знаходження розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку до рівнянь вищих порядків. Не зупиняючись детально на теорії (див. [26]), сформулюємо необхідні твердження і розглянемо приклади.

Нехай маємо лінійне диференціальне рівняння n-го порядку

, (102)

де al, a2, ..., аn — сталі дійсні числа.

Характеристичним для рівняння (102) називається алгебраїчне рівняння n-го степеня виду

(103)

де — невідоме дійсне чи комплексне число.

Як відомо (гл. 7, п. 1.5), рівняння (103) має n коренів. Позначимо ці корені через t , ..., kn.

Теорема. Кожному простому кореню рівняння (103) відповідає частинний розв'язок, рівняння (102), а кожному кореню кратнос-ті m > 1 відповідає m частинних розв'язків виду , x, ..., xm-1.

Кожній парі ± і простих комплексно-спряжених коренів рівняння (103) відповідає два частинних розв'язки та рівняння (102), а кожній парі ± комплексно-спряжених коренів кратності р > 1 відповідає 2р частинних розв'язків виду

;

Загальна сума кратностей всіх коренів рівняння (103) дорівнює n, тому кількість всіх частинних розв'язків рівняння (102), складених згідно з цією теоремою, дорівнює n, тобто збігається з порядком рівняння (102). Позначимо ці частинні розв'язки через , , ..., уn. Мож-на показати, що знайдені частинні розв'язки є лінійно незалежними, і загальний розв'язок рівняння (102) знаходиться за формулою

(104)

Нехай тепер задано неоднорідне рівняння n-го порядку

, (105)

де al, a2, ..., аn — сталі дійсні числа, ? 0 — неперервна на деяко-му проміжку функція.

Як і для рівнянь другого порядку, загальним розв'язком рівняння (105) є функція

,

де — загальний розв'язок відповідного однорідного рівняння (102), а у*(х) — частинний розв'язок рівняння (105).

Побудову загального розв'язку рівняння (102) з'ясовано. Про-аналізуємо знаходження частинного розв'язку у*(х). Якщо права частина рівняння (105) є функцією спеціального виду (98), то час-тинний розв'язок цього рівняння треба шукати за формулою (99). Як-що права частина f(х) не є функцією виду (98), то для знаходження у*(х) застосовують метод варіації довільних сталих. Стосовно рівняння (105) суть цього методу така.

Нехай функція (104) є загальним розв'язком відповідного однорідного рівняння (102). Знаходимо частинний розв'язок рівняння (105) за тією ж формулою (104), вважаючи, що величини С1, С2, ..., Сn — функції від х, тобто покладемо

, (106)

де — невідомі функції.

Складемо систему рівнянь

Розв'язуючи цю систему, знаходимо похідні (х), а потім інтегруванням і самі функції Сі(х). Якщо взяти всі сталі інтегрування рівними нулю і підставити функції Сі(х) в рівність (106), то матимемо частинний розв'язок рівняння (105); якщо у рівність (106) підставити функції Cі(х) + де — довільні сталі, то зразу ді-станемо загальний розв'язок.

Приклади

1. Розв'язати рівняння .

Характеристичне рівняння має корені = = = 0, = 2і, = - 2і. Згідно з теоремою маємо частинні розв'язки: = 1, = х, у3 = х2, у4 = cos 2ч, у5 = sin 2х. Загальний розв'язок даного рівняння знаходимо за форму-лою (104):

2. Знайти розв'язок рівняння , який задоволь-няє початкові умови у (0) = 2, у'(0) = 2, у"(0) = — 1.

Маємо неоднорідне лінійне рівняння третього порядку. Характеристичне рівняння має корені =