Зокрема, якщо права частина рівняння (91) має вигляд

= A cos вх + Вsin вх, (100)

де А, В — відомі дійсні числа, то частинний розв'язок цього рівняння треба шукати у вигляді

, (101)

де a, b — невідомі коефіцієнти; г — число коренів характеристичного рівняння (93), які дорівнюють вЯ.

Зауваження 1. Шукані многочлени у формулах (94), (96) і (97) мають бути повними, тобто містити всі степені х від 0 до n, незалежно від того, чи повним є заданий многочлен . Те саме стосується многочленів та у формулі (99), причому невизначені коефіцієнти при одних і тих же степенях х у цих многочленах повинні бути, взагалі кажучи, різними.

Зауваження 2. Якщо права частина рівняння (91) є сумою декількох різних за структурою функцій виду (92) або (98), то для відшукання частинного розв'язку потрібно використати теорему про накладання розв'язків (п. 3.4).

Зауваження 3. Використаний метод підбору окремого частинного розв'язку рівняння (91) можна застосовувати лише для певних диференціальних рівнянь, а саме для лінійних рівнянь із сталими коефіцієнтами і з спеціальною правою частиною виду (92) або (98). В інших випадках частинний розв'язок треба шукати методом варіа-ції довільних сталих.

Приклади

1. Розв'язати рівняння у" - 2у' + у = 2х + 3.

Характеристичне рівняння k2 - 2k + 1 = 0 має корені k1= k2 = 1, тому загальний розв'язок однорідного рівняння має вигляд Оскільки правою частиною даного рівняння є функція виду , причому б = 0, б ? , ? , то за формулою (94) частинний розв'язок шукаємо у вигляді , тобто у* = А + Вх, де А і В — невідомі коефіцієнти. Знайшовши похідні = В, у*" = 0 і підставивши їх у рівняння, дістанемо

2В + А + Вх = 2х + 3.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях, дістаємо систему рівнянь

звідки В = 2, А = 7. Отже, частинний розв'язок даного рівняння має вигляд у* = 7 + 2х, тому

шуканий загальний розв'язок.

2. Розв'язати рівняння у" — 3у' + 2у = 8е3х.

Характеристичне рівняння k2 - 3k + 2 = 0 має корені = 1 і = 2, тому загальний розв'язок однорідного рівняння має вигляд Оскільки правою частиною даного рівняння є функція виду Р0(х)е3х, причому б = 3, б ?, ?, то частинний розв'язок шукаємо у вигляді

тобто

де А — невідомий коефіцієнт.

Знайшовши похідні (у*)' = 3Ае3х, (у*)" = 9Ае3х і підставивши їх у рівняння, дістанемо

,

звідки А = 4, тому у* = 4e3х — частинний розв'язок даного рівняння, а у = - його загальний розв’язок.

3. Розв'язати рівняння у" + у = tg x.

Характеристичне рівняння k2 + 1 = 0 має корені = ±і, тому - загальний розв'язок відповідного однорідного рівняння. Права частина рівняння = tg x не є функцією спеціального виду (92) або (98), тому частинний розв'язок даного рівняння методом підбору шукати не можна.

Знайдемо цей розв'язок методом Лагранжа. Складемо систему виду (84) і розв'я-жемо її:

Інтегруючи, дістанемо

де — довільні сталі. При = 0 дістанемо частинний розв'язок:

,

тоді—

загальний розв'язок даного рівняння.

Лінійні диференціальні рівняння n-гo порядку

Застосуємо методи знаходження розв'язків диференціальних рівнянь другого порядку до рівнянь вищих порядків. Не зупиняючись детально на теорії (див. [26]), сформулюємо необхідні твердження і розглянемо приклади.

Нехай маємо лінійне диференціальне рівняння n -го порядку

(102)

де а1, а2, .... аn — сталі дійсні числа.

Характеристичним для рівняння (102) називається алгебраїчне рівняння n -го степеня виду

(103)

де k — невідоме дійсне чи комплексне число.

Як відомо (гл. 7, п. 1.5), рівняння (103) має n коренів. Позначимо ці корені через , , ..., .

Теорема. Кожному простому кореню k рівняння (103) відповідає частинний розв'язок, рівняння (102), а кожному кореню k кратнос-ті m > 1 відповідає m частинних розв'язків вuду ekx, xekx, ..., xm-1 ekx.

Кожній парі б ± вЯ простих комплексно-спряжених коренів рівняння (103) відповідає два частинних розв'язки та рівняння (102), б кожній парі а ± вЯ комплексно-спряжених коренів кратності с > 1 відповідає 2р частинних розв'язків виду

Загальна сума кратностей всіх коренів рівняння (103) дорівнює п, тому кількість всіх частинних розв'язків рівняння (102), складених згідно з цією теоремою, дорівнює п, тобто збігається з порядком рівняння (102). Позначимо ці частинні розв'язки через y1, y2, ..., уn. Мож-на показати, що знайдені частинні розв'язки є лінійно незалежними, і загальний розв'язок рівняння (102) знаходиться за формулою

(104)

Нехай тепер задано неоднорідне рівняння n-го порядку

де а1, а2, ..., аn — сталі дійсні числа, ? 0 — неперервна на деяко-му проміжку функція.

Як і для рівнянь другого порядку, загальним розв'язком рівняння (105) є функція

де (х) — загальний розв'язок відповідного однорідного рівняння (102), а у*(х) — частинний розв'язок рівняння (105).

Побудову загального розв'язку у(х) рівняння (102) з'ясовано. Проаналізуємо знаходження частинного розв'язку у*(х). Якщо права частина рівняння (105) є функцією спеціального виду (98), то час-тинний розв'язок цього рівняння треба шукати за формулою (99). Як-що права частина не є функцією виду (98), то для знаходження у*(х) застосовують метод варіації довільних сталих. Стосовно рів-няння (105) суть цього методу така.

Нехай функція (104) є загальним розв'язком відповідного однорідного рівняння (102). Знаходимо частинний розв'язок рівняння (105) за тією ж формулою (104), вважаючи, що величини C1, С2, ....