(106)

де невідомі функції.

Складемо систему рівнянь

Розв'язуючи цю систему, знаходимо похідні і = 1, 2, .... n, а потім інтегруванням і самі функції Сі(х). Якщо взяти всі сталі інтегрування рівними нулю і підставити функції Сі(х) в рівність (106), то матимемо частинний розв'язок рівняння (105); якщо у рівність (106) підставити функції Сі(х) + де — довільні сталі, то зразу ді-станемо загальний розв'язок.

Приклади

1. Розв'язати рівняння

Характеристичне рівняння має корені = = k3 = 0, = 2Я, k5 = — 2і. Згідно з теоремою маємо частинні розв'язки: . Загальний розв'язок даного рівняння знаходимо за форму-лою (104):

2. Знайти розв'язок рівняння

), який задоволь-няє початкові умови у(0) = 2, у'(0) = 2, у"(0) = - 1.

Маємо неоднорідне лінійне рівняння третього порядку. Характеристичне рівняння має корені k1 = 0, = 1, = 1. Загальний розв'язок відповідного однорідного рівняння має вигляд . Правою частиною даного рівняння є функція виду (100), де А = В = 4, в = 1. Оскільки число 1 · і = і не є коренем характеристичного рівняння (г = 0), то окремий роз-в'язок шукаємо у вигляді (101):

де а, b — невідомі коефіцієнти. Знайшовши похідні і підставивши їх у дане рівняння, після спрощень дістанемо

2б cos х + 2 b sin х = 4 cos х + 4 sin x,

звідки а = b = 2, тому у* = 2 cos х + 2 sin х — частинний розв'язок неоднорідного рівняння, а—

загальний розв'язок. Продиференціювавши його двічі, знайдемо

Скориставшись початковими умовами у(0) = 2, (0) = 2, у"(0) = -1, дістанемо систему рівнянь:

звідки С1 = 1, С2 = -1, С3 = 1. Отже, шуканий розв'язок має вигляд