Реферат

Інтегрування раціональних функцій

Раціональні функції складають важливий клас функцій , інтеграли від яких завжди виражаються через елементарні функції. Нехай треба знайти

Враховуючи рівність , цей інтеграл можна подати як суму інтеграла від многочлена і правильного раціонального дробу:

=dx Інтеграл від многочлена знаходить безпосередньо , а інтеграл від правильного раціонального дробу зводиться за допомогою формули

+…+до інтегралів від елементарних дробів. Розглянемо ці інтеграли:

1.

2.

3.

Перший інтеграл знаходиться безпосередньо:

а другий є табличним

, оскільки за умовою q-

Зауважимо що підстановка “підказана” тим , що квадратний тричлен у знаменнику можна записати у вигляді

У загальнішому випадку маємо

де Знак мінус чи плюс береться залежно від того , якими будуть корені знаменника : комплексними чи дійсними . Звідси випливає , що інтеграли виду обчислюється підстановкою

4.Інтеграл виду

І

Підстановкою зводиться до двох інтегралів :

Перший з цих інтегралівобчислюється безпосередньо ,а другий -за рекрутною формолою……….

До інтегрування многочлена і скінченного числа елементарних дробів,інтеграли від яких виражається через раціональні функції,логарифми і арктангенси.

Інакше кажучи, будь-яка раціональна функція інтегрується в елементарних функція.

(1)

де r,s,…t-цілі числа ,які називаються кратними кореннями при чому r+s+…+t=n, n-степінь многочлена Q(x).

Серед коренів (1) можуть бути і комплексні.В алгебрі доказується, що якщо

кратний комплесний корінь многочлена,то цей многочлен має також

спряження з r-кратним кореннем =a-bi.Другими словами, якщо в формулі (1)

входить множник (x-), де =a-bi (b0),то вона містить також і множник (x-).Помноживши ці два многочлена получимо

де p=-a, q=a і q –звичайні числа.

Поступаючи аналогічно з іншими комплексними кореннями запишемо формулу(1) у вигляді :

-звичайні числа.