Частинні коефіцієнти кореляції і коефіцієнти регресії

Частинні коефіцієнти кореляції так само, як і парні, характеризують тісну зв’язку між двома змінними. Але на відміну від парних частинні коефіцієнти характеризують тісноту зв’язку за умови, що інші незалежні змінні сталі.

Можна дістати спрощений вираз для розрахунку коефіцієнта частинної кореляції, обравши інший спосіб інтерпретації цього коефіцієнта. Для випадку простої регресії двох змінних маємо

де характеризує коефіцієнт при х у рівнянні у = f(x), а - коефіцієнт при у в рівняння х = f (у). Отже, квадрат коефіцієнта парної кореляції дорівнює добутку двох наведених коефіцієнтів. Коефіцієнт частинної кореляції можна визначити аналогічно. Наприклад, розглянемо два регресій ні рівняння:

Нехай в цих рівняння х3 дорівнює деякій довільній величині с, тоді член, який відповідає змінній х3 збігатиметься з вільним членом, а отже, дістанемо двір прості регресії, які відбивають загальну зміну у і х2 на площині х3 = с. Оскільки модель є лінійною, то коефіцієнти регресії х2 = f(у) і у = f(х2) лишаються незмінними при різних значеннях с, тобто можна стверджувати: квадрат коефіцієнта частинної корекції між у і х2 дорівнює добутку коефіцієнтів при х2 і у у двох множинних регресіях.

Згідно з (5.10) запишемо ці рівняння у вигляді

де Rkj – алгебраїчні доповнення до елемента rkj матриці r.

Звідси

Для знаходження частинного коефіцієнта кореляції змінної у і х2 за умови, що змінна х3 стала, достатньо взяти добуток параметрів при х2 і у в наведених щойно рівняннях з протилежним знаком.

Тоді частинні коефіцієнти кореляції будуть такі:

; ; ;

Ці висновки можна поширити на випадок, коли економетрична модель має m незалежних змінних, але при цьому решта незалежних змінних (крім двох) є константами.