Матриці. Загальна інформація.
Основні означення
Прямокутна таблиця чисел aij = 1, 2, .... m; j= 1, 2, ..., n, скла-дена з m рядків та n стовпців і записана у вигляді
або
називається матрицею. Поняття матриці вперше ввели англійські математики У. Гамільтон і Д. Келі. Коротко матрицю позначають так:
або
де aij — елементи матриці, причому індекс і в елементі aij означає но-мер рядка, aj— номер стовпця, на перетині яких стоїть даний елемент.
Добуток числа рядків m на число стовпців n називають розміром матриці і позначають m X n. Якщо хочуть вказати розмір m X n мат-риці А, то пишуть Аmn.
Матриця, в якої число рядків дорівнює числу стовпців, назива-ється квадратною. Кількість рядків (стовпців) квадратної матриці називається її порядком. Матриця, у якої всього один рядок, назива-ється матрицею-рядком, а матриця, у якої всього один стовпець,— матрицею-стовпцем. Дві матриці Аmn=(aij) та Вmn= (bij) нази-ваються рівними, якщо вони однакових розмірів і мають рівні відпо-відні елементи: аij = bij. Нульовою називається матриця, у якої всі елементи дорівнюють нулю. Позначається така матриця буквою О. Як і в визначниках (п. 1.1), в квадратних матрицях виділяють головну і побічну діагональ.
Квадратна матриця називається діагональною, якщо всі її елемен-ти, крім тих, що знаходяться на головній діагоналі, дорівнюють нулю. Діагональна матриця, у якої кожен елемент головної діагоналі дорів-нює одиниці, називається одиничною і позначається буквою Е. На-приклад, одинична матриця третього порядку має вигляд
Будь-якій квадратній матриці
можна поставити у відповідність певне число, яке називається ви-значником (детермінантом) цієї матриці і позначається символом det А. За означенням
det A=
Наприклад, якщо
то det
Прямокутна матриця розміром т X п (п ф пі) визначника не має.
Дії над матрицями
1°. Операція додавання матриць вводиться тільки для матриць однакового розміру. Сумою С = А + В двох матриць Аmn — (aij) і Вmn = (bij) називається матриця Сmn= (cij)=(aij+bij). На-приклад,
2°. Добутком матриці Аmn = (aij) на число k (або числа k на матрицю Amn) називається матриця Вmn= (kaij). Наприклад,
3°. Різниця матриць А — В визначається як сума матриці А і мат-риці В, помноженої на — 1:
Справедливі такі властивості операцій:
а) А - В = В + А — комутативність відносно додавання мат-риць;
б) А + (В + С) — (А + В)+С — асоціативність відносно до-давання матриць;
в) А + О — А; А — А = О — роль нульової матриці в діях над матрицями така, як і числа нуль в діях над числами;
г) (вA) = (в) А — асоціативність відносно множення чисел;
д) (А + В) = А +В — дистрибутивність множення на чис-ло відносно додавання матриць;
е) ( + в) А — А + вА — дистрибутивність множення на мат-рицю відносно додавання чисел.
4°. Операція множення двох матриць вводиться лише для узго-джених матриць. Матриця А називається узгодженою з матрицею В, якщо кількість стовпців першої матриці А дорівнює кількості рядків другої матриці В.
Якщо ця умова не виконується, тобто матриці неузгоджені, то множення таких матриць неможливе.
З узгодженості матриці А з В не випливає, взагалі кажучи, узго-дженість матриці В з А.
Квадратні матриці одного порядку взаємно узгоджені.
Добутком С = А В матриці Аmn — (аij) на матрицю Bnk=(bij) називається така матриця, у якої елемент сij дорівнює сумі добутків елементів j-го рядка матриці А на відповідні елементи четвертого стовпця матриці В:
cij=ai1b1j+ai2b2j+ … + ainbnj; C = Cmk = (cij),
i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, k.
Це означення називають правилом множення рядка на стовпець. На-приклад, щоб визначити елемент с24, що стоїть в другому рядку і чет-вертому стовпці матриці С = АВ, потрібно знайти суму»добутків еле-ментів другого рядка матриці А на відповідні елементи четвертого стовпця матриці В.
Для дій 1°—4° над матрицями виконуються такі властивості (за умови, що вказані операції мають зміст):
а) (АВ) С = А (ВС); б) (А) В = А (В) = (АВ);
в) (A + В) С = AС + BС; г) С (A + В) = СA + СB;
д) A * О = О * А = О; е) АЕ = ЕА = A; е) det (A5) = det А X det 5.
Обернена матриця
Нехай А — квадратна матриця. Матриця A-1 називається обер-неною до матриці А, якщо виконується умова
А А-1 = А-1А = Е.
Квадратна матриця А називається виродженою, якщо det А=0, і невиродженою, якщо det А ?0.
Теорема 3. Для існування оберненої матриці А-1 необхідно і до-статньо, щоб матриця А була невиродженою.
О Необхідність. Нехай обернена матриця A-1 існує, тоді AA-1= Е. Застосовуючи правило знаходження визначника добутку двох матриць, маємо det A * det A-1 = 1, тому det А ? 0.
Достатність. Нехай det А ?0, тоді матриця A має обернену матрицю А-1 причому
, ()
де Аij — алгебраїчні доповнення елементів аij визначника матриці
()
Дійсно, добутки AA-1 і А-1 A матриць () і () дорівнюють матри-ці, у якої всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці (за теоремою 1), а всі недіагональні елементи — нулю (за теоремою 2). От-же, А-1А = АА-1 = Е.
Покажемо, що А-1— єдина обернена матриця. Нехай А" — ще одна обернена матриця, тоді
А-1 = А-1Е = А-1(АА") = (А-1А)А" = ЕА" = А".
Ранг матриці
Нехай задано матрицю Аmхn= А. Виділимо в матриці А будь-які k рядків і стільки ж