Значно раніше від того часу з'явилися посібники для вивчення математики.

Але всі вони являли собою певні набори задач (здебіль-шого практичного змісту) з вказівками щодо того, як знайти невідоме число — кількість речей, відстань, час, площу і т. п. І зовсім не пояснювалося, чому слід робити саме так, а не інакше. Просто подавався зразок, за яким треба було розв'язувати аналогічні задачі.

Тепер становище докорінно змінилося: на перше місце висувається обґрунтування правильності розв'язування, доведення. За 600 років до н. е. такий підручник з геомет-рії нового типу написав грецький вчений Фалес Мілетський (640-548 до н. е.). Він був філософом-матеріалістом, астрономом і математиком, його вважали одним з найвидатніших мудреців стародавніх часів, двічі нагороджували золотою триногою як наймудрішого з еллінів. Підручник Фалеса був невеликим за обсягом, але саме з нього починається історія геометрії як науки. Кожне твердження про геометричні фігури Фалес обґрунтовує. Відтоді математики саме так оформлюють свої міркування. Через це Фалеса з повною підставою називають батьком геометрії.

Автор біографій багатьох видатних діячів стародавніх часів Плутарх писав, що Фалес був єдиним ученим, який у своїх дослідженнях «пішов далі того, що було необхід-ним для практичних потреб».

Уже за часів Фалеса геометрія займалася не лише вимі-рюванням земельних ділянок, проте назва її (вона похо-дить від грецьких слів — «земля» і — «вимі-рювати») передає саме це первісне її призначення. У підруч-нику Фалеса було порівняно небагато математичних твер-джень. Але вчені, які працювали після нього, продовжу-вали розвивати геометрію.

Серед учених-геометрів особливе місце належить гре-цькому математику Евкліду (IV-III ст. до н. е.). Близько 300 р. до н. е. він написав твір під назвою «Нача-ла», у 13 книгах якого систематизував математичні знання того часу, подавши їх у стрункій системі. «Начала» Евкліда протягом двох тисяч років вважали зразком наукового твору взагалі і перевидавали різними мовами понад 500 разів.

Побудова геометрії і в наш час багато в чому здійс-нюється за планом Евкліда, а геометрію, яку ми вивчаємо, називають евклідовою. До XIX ст. у школах ряду країн геометрію взагалі вивчали за «Началами» Евкліда, Дещо переробивши їх. Сучасні підручники, хоч і мають істотні відмінності од «Начал», доведення багатьох теорем подають в основному за Евклідом.

Термін «точка» походить від дієслова «ткнути», первіс-ний зміст — наслідок миттєвого уколу (латинське pungo — «колю»). Термін «лінія» походить від латинського Ііnеа, Що означає «лляна нитка». Спочатку під лінією розуміли тільки пряму (натягнену нитку, вірьовку), але вже в IV ст. до н. е. поняття лінії розширилося, і пряму вважали лише одним з видів ліній.

Градусне вимірювання кутів з'явилося у вавілонян приблизно 45 віків тому. Перехід до осідлого землеробства обумовив потребу ведення календаря, а він міг базува-тися лише на даних астрономії. Тому не випадково у Ваві-лоні велися систематичні спостереження за сузір'ями і планетами, за їх видимими переміщеннями по небесній сфері. При цьому помітили, що діаметри видимих кругів У Сонця і Місяця майже однакові, причому в половині кола, яке описують над горизонтом, вкладаються 180 раз. Це і привело до думки поділити розгорнутий кут на 180 рів-них частин.

До XVII століття у грецьких і європейських матема-тиків йшлося лише про кути, не більші від розгорнутого. Вчення про кути довільної величини з'явилося значно пізніше.

Термін «градус» — походить від латинського gradus, буквально означає «крок». Сучасні позначення градусів та їх частин (мінут, секунд) увів в 1558 р. французький лікар і математик Пелетьє. На початку XVII сто-ліття вони вже широко розповсюдилися.

У Франції ввели поділ прямого кута на 100 рівних час-тин, які назвали градами. Град поділяється на 100 метричних мінут, а метрична мінута на 100 мет-ричних секунд. Такі одиниці вимірювання вико-ристовують також у Бельгії, Голландії, Люксембургу.

Моряки поділяють розгорнутий кут на 16 рівних час-тин — румбів.

У військовій справі розгорнутий кут поділяють на 30 частин, які називають великими поділками кутоміра. Велика поділка кутоміра поділяється на 100 малих, так званих тисячних.

Вимірюють кути (у градусах та їх частинах) за допомо-гою звичайного транспортира, про який розповідається в навчальному посібнику. Використовують і досконаліші транспортири, які дозволяють вимірювати кути з біль-шою точністю (до 6').

При вимірюванні кутів на місцевості використовують спеціальні кутомірні інструменти — теодоліт, гоніометр, астролябію та ін.

Моделі суміжних кутів відомі людям давно. Уяв-лення про такі кути складається під час розгляду шляхів або каналів, які перетинаються, при спорудженні внутріш-ніх стін будинків тощо. Проте тривалий час основну вла-стивість суміжних кутів практично не використовували. До XVIII ст. в підручниках окремо доводили, що у рівнобедреного трикутника рівні кути при основі, а також рівні зовнішні кути при основі.

Суміжні кути пов'язані ще з одним означенням пря-мого кута (перше полягало в тому, що це кут, градусна міра якого 90o): прямим кутом називається кут, який до-рівнює своєму суміжному.

Після цього очевидний перехід до перпендикулярних прямих.

Термін «перпендикуляр» походить від латинського perpendre — зважувати і пізнішого perpendiculum — важок, висок.

Перед вивченням цієї теми доцільно пояснити учням, чому питанням рівності фігур приділяється така велика увага.

Масове промислове виробництво пов'язане із стандар-тизацією. Зокрема, встановлюються розміри окремих дета-лей і зазначаються допустимі відхилення від них. Саме тому, наприклад, гайки, виготовлені в певному