Іноді користуються наближеною рівністю

f(х + х)f(х). (7)

Якщо функція у = f (х) диференційовна в точці х, то абсолютна по-хибка формули (7) наближено дорівнює абсолютній величині ди-ференціала:

Відносна похибка формули (7) визначається за формулою

Приклади

1. Знайти диференціал функції у= ln sin 2х: а) при довільних значеннях х i x; б) при х = ; в) при х = і x = 0,1.

О а) Користуючись формулою (4), знаходимо

dy = (ln sin 2x)' dx = 2 ctg 2xdx;

б) в)

2. Порівняти приріст y і диференціал dy функції у = х3 + 2x2.

О Знаходимо приріст і диференціал функції:

y= f (х+x)-f (x)= (х +x)3 + 2 (х + x)2 - (х3 + 2x2) =

=(Зx2 + 4x)x + (3х + 2 +x)x2;

dy = f' (x)x = (3x2 + 4x) dx.

Величини y і x еквівалентні при x0 і х 0, оскільки dx = x і

Абсолютна похибка |y - dy| = |3х + 2 + x| x2 при x0 є нескінченно малою другого порядку в порівнянні з x, тому що

якщо х- і є нескінченною малою більш високого порядку, ніж другий, коли x0 і х.

3. Довести, що при малих значеннях Дл: і х ;> 0 справедлива формула

О Розглянемо функцію f (х) = x (0; +). Маємо I шукана рівність випливає з формули (6). Зокрема, якщо х = 1, то

НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Основною задачею диференціального числення є знаходження похідної f'(х) заданої функції f(х). Одне з можливих фізичних трак-тувань цієї задачі — визначення швидкості руху за функцією, яка задає пройдений шлях за час руху. З практичної точки зору природ-ною є обернена задача, а саме, визначення пройденого шляху за відо-мою швидкістю руху як функцією часу. Більш формально, остання задача є знаходженням функції f(х) за відомою її похідною f (х). Розв'язується ця задача за допомогою невизначеного інтеграла.

1.1. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла

Функція F (х) називається первісною функції f (х) на проміжку , якщо F (х) диференційовна на і F' (х) = f (х), х .

Наприклад: 1) первісною функції f(x) = x2, xR є функція F(x)= (справді, F'(x) = xR); очевидно, що первісними будуть також функції F (х) = , F(x) = і взагалі F (x) =+С, де С — довільна стала, оскільки F' (х) = x;

2) функція f(х) = cos х, х R має первісну функцію F (х) = sin x + С, aбо

F' (х) = (sin х + С)' = cos х, х R.

Розглянуті приклади показують, що задача знаходження первіс-ної розв'язується неоднозначно. Інакше кажучи, якщо для функції f(х) існує первісна F(х), то ця первісна не одна. Виникає запитання: як знайти всі первісні даної функції, якщо відома хоча б одна з них? Відповідь дає така теорема.

Теорема. Якщо F (х) — первісна функції f (х) на проміжку , то всяка інша первісна функції f (х) на цьому самому проміжку має вигляд F (х) + С.

О Нехай Ф(х) — деяка інша, крім F (х), первісна функції f(х), тобто Ф'(х) = f(х), х . Маємо

а це означає (гл. 5, п. 5.2, прикл. 4), що Ф(х)-F (x) = С. Отже, Ф(х)=Р(х)+С. *

З цієї теореми випливає, що множина функцій F(х)+С, де F(х) — одна з первісних функції f(х), а С — довільна стала, визначає всю сукупність первісних заданої функції.

Якщо F(х) — первісна функції f(х) на проміжку і С — довільна стала, то вираз F(х) + С називається невизначеним інтег-ралом функції f(х) на цьому проміжку і позначається символом . Таким чином, символ означає множину всіх первісних функції f (х).

Знак , який ввів Лейбніц, називається інтегралом, f(x)dx — підінтегральним виразом, f(х) — підінтегральною функцією, х — змінною інтегрування. Отже, за означенням,

f(x)dx= F(x) + C, якщо F'(x) = f(x), x. (1)

Операцію знаходження невизначеного інтеграла від функції називають інтегруванням цієї функції.

З погляду геометрії невизначений інтеграл є множиною кривих, кожна з яких називається інтегральною кривою і утворюється зсу-вом однієї з них паралельно самій собі уздовж осі Оу (рис. 1). Щоб з цієї множини виділити певну інтегральну криву F(x), достатньо задати її значення F(х0) в якій-небудь точці х0 .

З рівностей (1) випливають такі властивості невизначеного інтег-рала.

1°. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

((х) dx)' = (F (x) + С)' = F' (x) = f (х).

Інакше кажучи, знаки похідної і невизначеного інтеграла взаєм-но знищуються. Це природно, бо операції диференціювання та ін-тегрування — взаємно обернені. Внаслідок цього правильність ви-конання операції інтегрування перевіряється диференціюванням. Наприклад,

2°. Невизначний Інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної сталої:

(х) = '(х) dx = (х) dx = F(х) + С.

3°. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

d((х) dx) - ((х) dx)' dx = f(х) dx.

4°. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:

(x)dx=C(x)dx.

5°. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від цих функцій:

Властивості 4° і 5° перевіряються диференціюванням на основі властивості 1°. Властивість 5° справедлива для довільного скінчен-ного числа доданків.

6°. Якщо

і u = (х) — довільна функція, що має неперервну похідну, то

(u)du=F(u)+C. (2)

О Внаслідок інваріантності форми першого диференціала (гл. 5, п. 3.2) і властивості 2° маємо

dF (u)=F'(u) du=f(u) du;

Ця властивість (її називають інваріантністю формули інтегру-вання)