дуже важлива. Вона означає, що та чи інша формула для невизначеного інтеграла залишається справедливою незалежно від то-го, чи змінна інтегрування є незалежною змінною, чи довільною функцією від неї, що має неперервну похідну. Таким чином, кількість інтегралів, які обчислюються (або, як кажуть, «беруться»), необмежено збільшується. Наприклад, оскільки .
Користуючись інваріантністю цієї формули, одержимо формулу де — довільна функція, що має неперервну похідну. Зокрема:
тобто
тобто
тобто
Природно, виникає запитання: чи для всякої функції існує невизначений інтеграл? Негативну відповідь на це запитання дає такий приклад: нехай
Покажемо, що функція f(x) на проміжку (- 1; 1) не має первісної. Припустимо протилежне. Нехай існує така функція F(х), що х ( - 1; 1): F'(х)=f(х). Тоді з теореми Лагранжа на відрізку [0; х], 0 < x < l, випливає, що
(F'+ (0) — права похідна функції F(х) в точці х = 0). Але F'+ (0) = F(0) = 0. Одержане протиріччя означає, що задана функція пер-вісної не має.
Цей приклад показує, що потрібна теорема, яка б гарантувала існування невизначеного інтеграла.
В п. 2.4 буде доведено, що всяка неперервна на проміжку функція має на цьому проміжку первісну. У зв'язку з цим надалі вважатимемо, що підінтегральна функція розглядається дише на тих проміжках, де вона неперервна.