Наприклад візьмемо функцію і . Маємо (див. (1.1)), тому згідно доведеному, функції і одного порядку при .

Означення 3. Функціїи і називаються эквівалентними при , якщо в деякому проколеному околі точки визначена така функція , що

(1.20)

і

(1.21)

Відзначимо, що через властивість (1.21) знайдеться проколений окіл точки , у якій . Вважаючи бачимо, що умови (1.20) і (1.21) для вказаного проколеного околу рівносильні умовам

тобто як говорять, еквівалентність двох функцій має властивість симетричності.

Функції і , еквівалентні при , називаються також асимптотично рівними при Асимптотична рівність (еквівалентність) функцій позначається символом ~:

(1.22)

З сказаного вище слідує, що якщо при , то і при

Приклади. 1. при , Дійсно, припустивши , отримаємо:

і

2. ~ при . Дійсно, якщо , то

і

Якщо в деякому проколеному околі точки справедливі нерівності то умови (1.20) і (1.21) еквівалентні співвідношенню

а, отже, й умові

Щоб в цьому переконатися, достатньо покласти тоді, очевидно, для функції виконуються умови (1.20) і (1.21).

Якщо

f~g і g~f при (1.23)

то

f~h при (1.24)

Дійсно, з умов (1.23) виходить, що в деякому проколеному околі точки

де і, отже

,

де , тобто виконується асимптотична рівність (1.24).

З результатів пункту 1.1 слідує, що при справедлива наступна еквівалентність нескінченно малих:

З цієї еквівалентності випливають і більш загальні співвідношення, які сформулюємо у вигляді окремої леми.

Лема 4. Якщо функція така, що

(1.25)

то при ,

(1.26)

Доведення. Покажемо, наприклад, що

(1.27)

Нехай функція визначена в деякому проколеному околі точки Покладемо (вважаючи що належить цоьму околі)

(1.28)

Покажемо, що

(1.29)

Нехай задано Оскільки

(тут u — незалежна змінна), існує таке число що при виконується нерівність

Для вказаного в силу (1.25) знайдеться таке число , що для всіх , задовольняючих умову , виконується нерівністьо Отже, якщо і , то

Інакше кажучи, якщо і , то

(1.30)

Якщо ж і , то згідно (1.28) маємо і, отже, нерівність (1.30) очевидно також виконується.

Рівність (1.29) доведена, а оскільки з (1.28) випливає, що для всіх , то доведена справедливість асимптотичної рівності (1.27). Аналогічно доводиться і решта асимптотичні формули (1.26).

Означення 4. Якщо в деякому проколеному околі точки де , то функція називається нескінченно малою в порівнянні з функцією при , пишеться , (читається: є о мале від при , прямучому до ).

Через це означення запис означає просто, що функція є нескінченно малою при ,

Якщо при , та умову

можна переписати у вигляді

Таким чином, під при розуміється будь-яка функція така, що

У випадку, коли нескінченно мала при то говорять, що при є нескінченно мала більш високого порядку, ніж

Наприклад, при , або

Так само і при

Відзначимо, що якщо то і при Дійсно, нехай , де . Тоді функція обмежена в деякому проколеному околі точки точки і, значить, в вказаному проколеному околі, а це означає, що , .

Збираючи разом введені в цьому пункті основні поняття, отримаємо: нехай в деякому проколеному околі Щ=Щ(x) точки

тоді

якщо функція обмежена на , то

якщо '

якщо

При використовуванні рівності з символами О і о слідує мати на увазі, що вони не є рівністю в звичайному значенні цього слова. Так, якщо

то було б помилкою зробити звідси висновок, що як це було б у разі звичайної рівності. Наприклад, і при , але . Аналогічно, якщо

при

то було б помилкою зробити висновок, що

Річ у тому, що один і той же символ або може позначати різні конкретні функції. Ця обставина зв'язана з тим, що при визначенні символів і ми по суті ввели цілі класи функцій, що володіють певними властивостями (клас функцій, обмежених в деякому околі точки в порівнянні з функцією і клас функцій, нескінченно малих в порівнянні з f(x) при ) і було б правильнішим писати не і , а відповідно і о . Проте це призвело б до істотного ускладнення обчислень з формулами, в яких зустрічаються символи О і о. Тому ми збережемо колишній запис і , але завжди читатимемо цю рівність, відповідно до приведених вище визначень, тільки в одну сторону: зліва направо (якщо, звичайно, не обумовлено що-небудь інше). Наприклад, запис означає, що функція є нескінченно малою в порівнянні з функцією f при але зовсім не те, що всяка нескінченно мала по порівнянню з f функція рівна .

Як приклад на поводження з цими символами доведемо рівність

(1.31)

де с - стала.

Згідно сказаному, треба показати, що якщо , то . Дійсно, якщо , то , де0. Покладемо тоді де, очевидно і, значить, .

На закінчення відзначимо, що сказане про використовування символів О і о не виключає, звичайно, того, що окремі формули з цими символами можуть виявитися справедливими не тільки при читанні зліва направо, але і справа наліво; так, формула (1.31) при вірна і при читанні справа наліво.

Приклади.

1.;

тому

2.

3., бо

4.Так як |1/x2| Ј |1/x| при |x| і 1, то 1/x2 = O(1/x) при x ® Ґ;

5.1/x = O(1/x2) при x® 0 так как |1/x|Ј 1/x2 при |x|Ј 1.

6.Функції f(x) = x(2+sin 1/x) g(x) = x x ® 0 являються нескінчено малими одного порядку при x® a , так як

f/g = (x(2+sin 1/x))/x = 2+sin 1/x = |2+sin 1/x| Ј 3 Ю f=O(g), g/f = 1/|2+sin 1/x| Ј 1 Ю g=O(f).

7. x2 = o(x) при x ® 0, так як limx ® 0x2/x = limx ® 0x = 0;

8.1/x2 = o(1/x) при x ® + Ґ так як limx ® Ґx/x2 = limx ® Ґ1/x