Лабораторна робота

Типи диференціальних рівнянь ІІ-порядку з частинними похідними

та зведення їх до канонічного виду

Теоретична частина.

Розглянемо диференціальне рівняння ІІ-го порядку з частинними похідними

(1)

де - задані функції або сталі.

Рівняння (1) належить гіперболічному типу, якщо в області визначення цього рівняння визначник якщо то рівняння належить до параболічному типу, а якщо то до еліптичного типу.

Рівняння

називається канонічним рівнянням гіперболічного типу; рівняння

називається канонічним рівнянням параболічного типу; рівняння

називається канонічним рівнянням еліптичного типу.

Задача по зведенню диференціального рівняння (1) до відповідного канонічного виду пов’язана з розв’язуванням такого звичайного рівняння:

(2)

Це рівняння називається характеристичним для рівняння (1), а його інтеграли (розв’язки) – характристиками.

Для рівняння гіперболічного типу рівняння характеристик має два інтеграла: і , тобто існують дві сім’ї дійсних характеристик. За допомогою заміни змінних:

(3)

диференціальне рівняння (1) зводиться до канонічного виду.

Для рівняння параболічного типу обидві сім’ї характеристик співпадають, тобто рівняння характеристик дає лише один інтеграл . Нехай - будь-яка функція, лінійно незалежна від . Тоді заміною змінних

рівняння (1) зводиться до відповідного канонічного виду.

Зауважимо, що якщо правильно підібрати функцію, то має виконуватися умова:

(4)

Для рівняння еліптичного типу інтаграли рівняння характристик (2) мають вид: , де - і - дійсні функції. За допомогою підстановки

рівняння (1) зводиться до канонічного виду.

Приклад. Знайти загальний розв’язок рівняння, привівши його до канонічного виду.

.

Тут отже задане рівняння гіперболічного типу.

Запишемо рівняння характеристик:

Поділивши на , отримаємо: .

Звідси дістнемо :

Розв’яжемо ці рівняння:

,

.

Вводимо заміну змінних:

або

Знайдемо всі частинні похідні, що входять в задане рівняння, виразивши їх через :

Підставивши в задане рівняння, отримаємо

Після скорочень маємо:

Проінтегруємо по змінній (можна по ). Тоді , тут -довільна функція від . Проінтегруємо обидві частини по :

де і - довільні функції.

Повертаючись до змінних отримаємо:

Це і є загальний розв’язок заданого рівняння.

Практична частина.

Знайти загальний розв’язок рівняння, привівши його до канонічного виду:

1. . 18. .

2. . 19. .

3. . 20. .

4. . 21. .

5. . 22. .

6. . 23. .

7. . 24. .

8. . 25. .

9. . 26. .

10. . 27. .

11. . 28. .

12. . 29. .

13. . 30. .

14. . 31. .

15. . 32. .

16. . 33. .

17. .