Лабораторна робота

Метод скінченних різниць для розв’язування задачі нестаціонарної теплопровідності

Теоретична частина.

Розглянемо задачу про нестаціонарний розподіл температур в стержні довжиною , на одному кінці якого температура змінюється за заданим законом , а на другому - за законом , причому початковий розподіл температур в стержні задається функцією .

Постановка цієї задачі має вигляд:

початкові умови

граничні умови .

Тут - деякий момент часу.

Задача полягає в тому, щоб знайти розв’язок в прямокутній області розміром при умові, що на трьох сторонах цього прмокутника шукана функція (температура) відома.

Розв’яжемо цю задачу методом скінченних різниць (методом сіток), суть якого полягає в тому, що досліджувана область покривається сіткою, наприклад, прямокутною з кроком дискретизації по осі (по горизонталі) і по осі (по вертикалі). Точки в яких перетинаються вертикальні і горизонтальні лінії називаються вузлами сітки. Введемо нумерацію вузлів. Нехай - номер вузла по горизонталі, а - по вертикалі. Отже, неперервна область замінюється дискретною, причому в граничних вузлах сітки шукана функція відома із початкових і граничних умов. А треба знайти функцію всередині області, тобто у внутрішніх вузлах сітки.

Для цього рівняння теплопровідності замінимо скінченно-різницевим аналогом, використовуючи шаблон типу “напівхрест” (рис.1).

Рис. 1. Обчислювальний шаблон типу «напівхрест»

Замінимо похідну відношенням приросту функції до приросту аргументу при переході із вузла в сусідній з ним вузол. Тоді:

; ; .

Тепер складемо скінчено-різницевий аналог другої похідної:

Тоді рівняння теплопровідності апроксимується таким скінченно-різницевим рівнянням:

Виразимо з цього рівняння :

(1)

Обчислення за формулою (1) дозволяє, виходячи із відомих температур в трьох вузлах одного часового рівня (з номером ), знайти температуру в центральному вузлі наступного часового рівня ( з номером ).

Зупинимося на питанні, пов’язаному зі стійкістю цієї схеми.

Означення. Обчислювальна схема називається стійкою,якщо похибка, яка виникає на певному етапі обчислювань, в подальшому не накопичується.

В нашому випадку обчислювальна схема (1) буде стійкою, якщо виконується умова (без доведення):

або, розв’язуючи цю нерівність відносно , отримаємо:

(2)

Умова (2) – це умова стійкості схеми (1). Очевидно, що кроки дискретизації і не можна вибирати довільно. Якщо один крок, наприклад, вибрати довільно, то другий крок треба визначити із умови стійкості (2).

Обчислювальну схему можна ще спростити, якщо за умову стійості прийняти граничний випадок:

(3)

Тоді рівняння (1) набуває виду:

(4)

Рівняння (4) і приймемо за обчислювальну схему для розв’язування поставленої задачі, за якою, щоб знайти температуру на часовому рівні , треба знайти середнє арифметичне значень температури і на часовому рівні . Обчислювальний шаблон для такої схеми показаний на рис.2

Рис. 2. Обчислювальний шаблон для схеми (4)

Приклад. Користуючись методом скінченних різниць (методом сіток) розв’язати задачу про нестаціонарний розподіл температур в стержні довжиною м, кінці якого підтримуються при нульовій температурі, а початковий розподіл температур (при ) задається функцією . Коефіцієнт в рівняння теплопровідності прийняти рівним 1.

Розв’язування:

Поставимо задачу:

початкові умови

граничні умови .

Задамо крок , тоді крок Запишемо скінченно-різницевий аналог рівняння теплопровідності:

Пронумеруємо вузли сітки (рис. 3)

Рис. 3. Зображення вузлів сітки

Результати обчислень температури у вузлах сітки занесемо в таблицю, кожна клітинка якої відповідає певному вузлу з номером . Зауважимо, що обчислення слід починати з граничних вузлів, температура в яких визначається із початкової і граничної умов.

Таблиця значень температури.

3 | 0 | 0,28 | 0,53 | 0,72 | 0,84 | 0,88 | 0,84 | 0,72 | 0,53 | 0,28 | 0

2 | 0 | 0,30 | 0,56 | 0,76 | 0,88 | 0,92 | 0,88 | 0,76 | 0,56 | 0,30 | 0

1 | 0 | 0,32 | 0,60 | 0,80 | 0,92 | 0,96 | 0,92 | 0,80 | 0,60 | 0,32 | 0

0 | 0 | 0,36 | 0,64 | 0,84 | 0,96 | 1,00 | 0,96 | 0,84 | 0,64 | 0,36 | 0

j i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10

З табличних значень видно, що іде процес охолодження стержня. Зверху таблиця не обмежена, тому обчислення можна продовжити і далі.

Практична частина

Методом скінченних різниць (методом сіток) розв’язати задачу про розподіл температур в стержні довжиною м, на кінцях якого весь час підтримується нульова температура, а початковий розподіл температур задається законом

де - номер варіанта. Крок дискретизації по просторовій змінній взяти . Обчислення виконати для трьох кроків по часу. Коефіцієнт в рівнянні теплопровідності .