Лабораторна робота

Розв'язування задачі Діріхле для рівняння Лапласа методом сіток

Розглянемо задачу Діріхле для рівняння Лапласа в прямокутній області. Ця задача ставиться так. Знайти неперервну функцію , яка задовольняє всередині прямокутної області рівнянню Лапласа

(1)

і приймає на границі області D задані значення, тобто

,

,

,

,

де f1, f2, f3, f4, задані функції, які задовольняють умову неперервності функції на границі області D, тобто

, , , .

Ідея методу сіток полягає в тому, що область неперервної зміни аргументів в початковій задачі замінюється скінченною множиною точок (вузлів), які називаються сіткою. Диференціальне рівняння (1) замінюється скінченно-різницевим рівнянням, при цьому похідні шуканої функції у вибраних вузлах замінююються розділеними різницями. Одержуємо систему алгебраїчних рівнянь для функції дискретних елементів (сіткової функції), визначеної у вузлах сіки. Крайові умови замінюються різницевими крайовими умовами для сіткової функції. Одержану систему скінченно-різницевих рівнянь розв'язуємо яким-небудь способом, і визначаємо значення шуканої функції у вузлах сітки, тобто чисельний розв'язок початкової задачі.

Для даної задачі найбільш зручна так звана прямокутна сітка, утворена системою прямих , де , (рис. 1).

Рис.1. Дискретизація області

Вводячи позначення , апроксимуємо частинні похідні , в кожному внутрішньому вузлі сітки центральними різницевими похідними другого порядку

,

і замінюємо рівняння Лапласа скінченно-різницевим рівнянням

, (2)

де .

Рівняння (2) разом із значеннями в граничних вузлах утворюють систему лінійних рівнянь відносно наближених значень функції у вузлах сітки . Найпростіший вигляд має ця система при

(3)

При одержанні рівнянь (3) була використана схема вузлів, зображена на рис. 1. Набір вузлів, які використовуються для апроксимації рівняння в точці, називається шаблоном. В даній роботі використовується шаблон типу "хрест".

Система рівнянь (3) завжди сумісна і має єдиний розв'язок. Його можна одержати методом Гаусса. Але, якщо кількість вузлів сітки велика, то зручніше використовувати ітераційні методи. Один із таких методів полягає в наступному. Вибравши початкові наближення , послідовні наближення для внутрішніх вузлів сіткової області визначаємо за формулою

, (4)

Відомо, що при послідовність збігається до точного розв'язку незалежно від вибору початкових наближень. На практиці в якості беруть середнє арифметичне значень в чотирьох граничних точках, розташованих на одній горизонталі і вертикалі з точкою . Ітераційний процес продовжується до тих пір, поки не співпадуть два послідовних наближення i з заданою точністю.

Приклад.

Розв'язати задачу Діріхле для рівняння Лапласа в області з заданими гpаничними умовами:

розглянувши квадратну сітку з кроком h=1. Ітераційний процес продовжувати до тих пір, поки в двох послідовних наближеннях не співпадуть три десяткові знаки після коми.

Розв’язок.

При обчисленні послідовних наближень зручно користуватися прямокутною таблицею, у якій кожна клітка відповідає вузлу сітки. В першому і останньому стовпчиках та в першому і останньому рядках цієї таблиці записуються граничні умови, які в процесі ітерацій не міняються. Така таблиця називається обчислювальним шаблоном. За початкові наближення , беремо середнє арифметичне значень U(x,y) в чотирьох граничних точках, розташованих на одній горизонталі і на одній вертикалі з точкою .

-6 | -5 | -2 | 3 | 10

-2 | 2 | 3.5 | 6 | 14

0 | 3 | 4.5 | 7 | 16

0 | 1 | 4 | 9 | 16

Шаблон 1

Після заповнення шаблону 1 згідно формули (4) шукаємо перші наближення , і заповнюємо шаблон 2.

-6 | -5 | -2 | 3 | 10

-2 | -0.49803 | -3.04687 | 7.34375 | 14

0 | 1.96094 | 4.8435 | 8.875 | 16

0 | 1 | 4 | 9 | 16

Шаблон 2

і т. д. Аналогічно заповню-ються наступні шаблони.

-6 | -5 | -2 | 3 | 10

-2 | -1.12988 | 1.59180 | 5.81250 | 14

0 | 0.88867 | 3.05274 | 9.29688 | 16

0 | 1 | 4 | 9 | 16

Шаблон 3

-6 | -5 | -2 | 3 | 10

-2 | -1.06387 | 1.84284 | 6.76453 | 14

0 | 0.90170 | 3.73669 | 8.46631 | 16

0 | 1 | 4 | 9 | 16

Шаблон 4

-6 | -5 | -2 | 3 | 10

-2 | -1.02428 | 1.94261 | 6.92944 | 14

0 | 0.96025 | 3.90487 | 8.87530 | 16

0 | 1 | 4 | 9 | 16

Шаблон 5

-6 | -5 | -2 | 3 | 10

-2 | -1.00891 | 1.97909 | 6.97530 | 14

0 | 0.98527 | 3.96536 | 8.95852 | 16

0 | 1 | 4 | 9 | 16

Шаблон 6

-6 | -5 | -2 | 3 | 10

-2 | -1.00325 | 1.99238 | 6.99106 | 14

0 | 0.99462 | 3.98738 | 8.98516 | 16

0 | 1 | 4 | 9 | 16

Шаблон 7

-6 | -5 | -2 | 3 | 10

-2 | -1.00118 | 1.99722 | 6.99675 | 14

0 | 0.99804 | 3.99540 | 8.99461 | 16

0 | 1 | 4 | 9 | 16

Шаблон 8

-6 | -5 | -2 | 3 | 10

-2 | -1.00036 | 1.99899 | 6.99882 | 14

0 | 0.99955 | 3.99832 | 8.99804 | 16

0 | 1 | 4 | 9 | 16

Шаблон 9

-6 | -5 | -2 | 3 | 10

-2 | -1,00014 | 1,99967 | 6,99957 | 14

0 | 0,99978 | 3,99946 | 8,99928 | 16

0 | 1 | 4 | 9 | 16

Шаблон 10

-6 | -5 | -2 | 3 | 10

-2 | -1.00005 |