Лабораторна робота
Розв’язування системи лінійних диференціальних рівнянь методом операційного числення
Теоретична частина.
Операційне (символічне) числення широко застосовується в самих різних галузях науки і техніки. Сучасний математичний апарат операційного числення дозволяє розв’язувати задачі, які описуються системами лінійних диференціальних рівнянь (звичайних та з частинними похідними), різницевими рівняннями тощо. Універсальність метода пояснюється його високою ефективністю – можливістю отримати розв’язок більш простим способом.
Зупинимося на основних поняттях цього метода.
Перетворення Лапласа. Оригінал та зображення.
Означення 1. Оригіналом називається така функція дійсного аргумента , яка задовольняє наступні три умови:
1) - однозначна, неперервна або кусково-неперервна разом зі своїми похідними -го порядку при ;
2) росте не швидче, ніж деяка показникова функція, що означає існування таких сталих додатних чисел і , які не залежать від і при яких для всіх ;
3) при .
Означення 2. Зображенням функції-оригіналу називається функція комплексної змінної , яка визначається інтегралом Лапласа:
(1)
Інтеграл Лапласа (1) називають перетворенням Лапласа функції . Відповідність між зображенням і оригіналом будемо позначати знаком і записувати:
або .
Іноді використовують таке позначення: , де символ означає перетворення Лапласа.
Зауваження. Із означення перетворення Лапласа випливає, що умова 3) є формальною. Якщо говорять про зображення функції при , то треба мати на увазі, що розглядається зображення функції , де - одинична функція:
Властивості зображень.
Теорема єдиності. Якщо два зображення і співпадають, то співпадають
між собою і відповідні оригінали; тобто, якщо і , причому , то у всіх точках неперервності.
Будь-яке зображення функції при прямує до нуля.
Звідси, зокрема, випливає, що константи і многочлени від з додатними степенями не можуть бути зображеннями.
Властивість лінійності. Якщо і при цьому ,
, , то .
Властивість подібності. Якщо - оригінал і , то при
також оригінал і .
Властивість зміщення. Якщо оригінал , то для довільної сталої має
місце відповідність:
6. Властивість запізнення. Якщо оригінал і , то
7. Властивість диференціювання оригіналу. Нехай - оригінал, неперервна і
. Якщо існує похідна , яка є теж оригіналом, то
.
Зокрема, якщо , то диференціювання оригіналу зводиться до множення зображення на . Якщо оригінал має похідні до -го порядку, які є оригіналами і неперервна, то
Зокрема, коли , то
.
Зауважимо, що ця властивість широко використовується при розв’язуванні лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами та їх систем.
Властивість диференціювання зображення. Якщо оригінал , то
, також оригінал і
Властивість інтегрування зображення. Якщо оригінал і інтеграл
збігається, то
10. Зображення згортки. Нехай маємо дві функції і , Згорткою цих функцій називається інтеграл (якщо він існує). Цей інтеграл є функцією від і позначається .
Якщо і є оригіналами, то із означення оригіналу випливає, що .
Неважко переконатися, що .
Властивість про згортку. Якщо оригінали і , то
Таблиця зображень і оригіналів.
Використовуючи перетворення Лапласа, а також властивості зображень, складаємо таблицю зображень і оригіналів.
№ | Оригінал |
Зображення
1 | 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Приклад. Методом операційного числення розв’язати систему диференціальних рівнянь при заданих початкових умовах:
.
Розв’язування. Застосуємо до обох рівнянь системи перетворення Лапласа. Ведемо зображення до шуканих функцій:
В результаті підстановки отримаємо систему алгебраїчних рівнянь з невідомими і :
Розв'язавши цю систему, отримаємо зображення:
Щоб можна було використати таблицю зображень і оригіналів, перетворимо кожне з одержаних зображень, враховуючи, що знаменники не мають дійсних нулів, а, отже, на лінійні множники не розкладаються:
Отже,
Це є відповідь.
Практична частина.
Методом операціного числення розв’язати систему диференціальних рівнянь при заданих початкових умовах:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
21. 22.
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29. 30.
31. 32.
33.