Лабораторна робота
Геометрична ймовірність
Теоретична частина.
Класичне означення ймовірності передбачає скінченність числа елементарних подій. Проте на практиці досить часто зустрічаються випробування, число можливих наслідків яких нескінченне. Цей недолік може бути усунутий введенням геометричної ймовірності.
Мірою на прямій називатимемо довжину відрізка, на площині – площу фігури, в просторі – об’єм тіла.
Нехай - довільна множина зі скінченною мірою (довжиною, площею, об’ємом). Подіями домовимось називати всеможливі вимірні підмножини в . Дослід полягає у довільному виборі точки з множини , причому всі точки мають однакові шанси бути вибраними. Подія - попадання вибраної точки в область . За геометричним означенням ймовірність події дорівнює відношенню міри до міри
де позначає міру (довжину, площу, об’єм). Передбачається, що не залежить від розташування області в , а лише від розміру області .
Приклад 1. З літака скинуто гуманітарний вантаж, що впав на пряму дорогу між пунктами і , відстань між якими 200 м. Між і знаходяться два прапорці на відстані 50 м один від одного. Знайти ймовірність того, що вантаж впаде між прапорцями.
Розв’язання. Розташуємо початок координат в пункті , тоді пункт матиме координату 200. Нехай - координата падіння вантажу. Множину елементарних подій можна записати у вигляді
.
Тоді . Нехай подія ={вантаж впав між прапорцями}, тоді , де - координата першого прапорця, . Таким чином шукана ймовірність дорівнює
Відповідь.
Приклад 2. (Задача про зустріч). Два студенти домовились зустрітися у визначеному місці, причому кожен з них приходить на зустріч незалежно від другого у випадковий момент між 12 і 13 годинами дня. Той, хто приходить першим, чекає 20 хв. і йде додому. Знайти ймовірність того, що зустріч відбудеться.
Розв’язання. Нехай і позначають момменти приходу на зустріч кожного студента. Не обмежуючи загальності вважаємо, що і Тобто простором елементарних подій є квадрат у площині (рис. 1)
.
Рис. 1
Згідно з умовою студенти зустрінуться тоді і тільки тоді, коли різниця між моментами приходу не перевищує 20 хв., тобто . Це означає, що події (зустріч студентів) відповідають ті точки квадрата, для яких виконується зазначена нерівність, тобто
.
Очевидно, нерівність еквівалентна подвійній нерівності . Події відповідає заштрихована на малюнку фігура. Площу цієї фігури знайдемо як різницю площ всього квадрата і площ двох не заштрихованих трикутників, тобто
За означенням геомтеричної ймовірності
Відповідь.
Практична частина.
Розв’язати задачу.
На відрізку довжиною навмання поставлено дві точки і . Знайти
ймовірність того, що точка буде ближче до точки , ніж до точки .
Яка ймовірність того, що сума трьох навмання взятих відрізків, довжина кожного з
яких не перевищує , буде більшою, ніж ?
На площині проведено паралельні прямі, відстань між якими 6 см. На площину
навмання кидають круг радіуса 2см. Яка ймовірність того, що круг не перетне жодної з прямих?
Стержень довжиною навмання розламали на три частини. Яка ймовірність того,
що з одержаних частин можна утворити трикутник?
Яка ймовірність того, що з трьох навмання взятих відрізків довжиною, не більшою
за , можна побудувати трикутник?
Навмання взято два додатні числа, кожне з яких не перевищує 1. Знайти
ймовірність того, що сума їх не перевищує 1, а добуток не перевищує 2/9.
На відрізку [-1;2] навмання взято 2 числа. Яка ймовірність того, що їх сума більша
за 2 , а добуток менший за 1?
У квадрат з вершинами навмання кинуто точку
. Знайти ймовірність того, що корені квадратного рівняння будуть дійсними.
На глобусі випадково вибирається точка. Яка ймовірність того? Яка ймовірність
того, що ця точка знаходиться між і західної довготи?
На глобусі випадково вибирається точка. Яка ймовірність того? Яка ймовірність
того, що ця точка знаходиться між і північної широти?
Відрізок довжиною 20 см розділили на 3 частини, вибираючи дві точки поділу
навмання. Знайти ймовірність того, що з утворених трьох відрізків можна скласти трикутник.
12. Всередину круга кинуто точку. Знайти ймовірність того, що вона потрапить у
вписаний в цей круг квадрат.
13. На колі радіуса навмання взято три точки . Яка ймовірність, що
трикутник гострокутний?
14. Навмання взято два додатних числа і , кожне з яких не перевищує 2. Знайти ймовірність того, що добуток не більший за одиницю, а частка не більша за 2.
15. Навмання взято два додатних числа і , кожне з яких не перевищує одиниці. Знайти ймовірність того, що сума не перевищує одиниці, а добуток не менший за 0,09.
16. Навмання вибирається число, яке міститься між нулем і одиницею. Знайти ймовірність того, що це число буде між не менше від 0,25 і не більше від 0,75.
17. Між нулем і одиницею навмання вибирають два числа. Знайти ймовірність того, що сума цих чисел буде не більша від 1, а модуль їх різниці не менший від 1/2.
18. У круг, радіус якого , навмання кидають точку. Знайти ймовірність того, що ця точка опиниться поза квадратом, вписаним в цей круг.
19. На відрізку довжиною , навмання вибирають дві точки. Знайти ймовірність того, що відстань між цими точками буде не менша від .
20. На відрізку [-1;1] навмання беруть 2 числа. Знайти ймовірність того, що сума квадратів цих чисел буде не більша за одиницю.
21. Знайти ймовірність того, що точка, кинута у будь-яке місце всередині круга, потрапить у вписаний в цей круг правильний трикутник.
22. На відрізку завдовжки взято будь-які дві точки. Знайти ймовірність того, що відстань між ними не перевищує , де
23. На колі взято будь-які три