Лабораторна робота

Двовимірна випадкова величина. Коефіцієнт кореляції.

Теоретична частина.

Вивчаючи випадкові явища, часто доводиться деякі випадкові величини вивчати сумісно. В таких випадках кажуть про систему кількох випадкових величин. Причому при вивченні системи випадкових величин потрібно врахувати і можливі залежності між випадковими величинами, які становлять систему. Систему випадкових величин називають ще -вимірною випадковою величиною. Надалі розглядатимемо двовимірну випадкову величину , де і - одновимірні випадкові величини, які називають компонентами випадкової величини .

Інтуїтивний підхід до поняття системи двох випадкових величин пов’язаний з уявленням про дослід, результатом якого є пара чисел. Наведемо кілька прикладів.

Приклад 1. Двічі підкидають гральний кубик. Позначимо - кількість очок при першому підкиданні, - кількості очок при другому. Пара буде системою двох випадкових величин.

Приклад 2. Навмання вибирають людину; - її ріст, - вага. Пара - система випадкових величин.

Приклад 3. Нехай - висота вибраного навмання в лісі дерева, - діаметр його основи; - система випадкових величин.

Законом розподілу системи випадкових величин називають співвідношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями системи і ймовірностями появи відповідних значень.

Розподіл ймовірностей системи двох дискретних випадкових величин часто задають таблицею

| ...

...

...

... | ... | ... | ... | ...

...

Тут - можливі значення випадкової величини , а - можливі значення , а - ймовірність того, що випадкова величина набуде значення , а набуде значення . Крмі того виконується умова

.

Остання умова означає, що в результаті експерименту одне із своїх значень система обов’язково набуде.

Функцією розподілу системи називається функція

За допомогою функції розподілу можна знайти ймовірність попадання випадкової точки в довільний прямокутник із сторонами, паралельними до координатних осей:

Щільністю розподілу неперервної двовимірної випадкової величини називають другу змішану частинну похідну від функції розподілу і позначають

Зворотний зв’язок між щільністю і функцією розподілу системи двох неперервних випадкових величини встановлює формула

Відзначимо властивості щільності розподілу.

Для всіх і маємо

Правильна формула

Якщо відомий закон розподілу системи, то можна знайти закони розподілу кожної з компонент. А саме, якщо дискретна випадкова величина задана таблицею розподілу, то закон розподілу компоненти знаходить так:

а для компоненти маємо:

Якщо випадкова величина задана функцією розподілу , то функції розподілу компонент і визначають за формулами:

Якщо ж випадкова величина задана щільностю розподілу , то щільності компонент такі:

Розподіл однієї компоненти системи, знайдений за умови, що інша компонента прийняла певне значення, називають умовним законом розподілу. Наприклад, умовний закон розподілу компоненти системи дискретних величин у припущенні, що подія відбулася, може бути знайдений за формулою

Випадкові величини, які становлять систему, називають незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, яких можливих значень набула інша величина. Для неперервних випадкових величин умова незалежності записується у вигляді

Для опису системи двох випадкових величин використовують кореляційний момент і коефіцієнт кореляції.

Кореляційним моментом системи називають математичне сподівання добутку відхилень випадкових величин і :

Коефіцієнтом кореляції системи називають величину

де - середні квадратичні відхилення компонет.

Кореляційний момент і коефіцієнт кореляції характеризують зв’язок між компонентами системи . А саме, якщо випадкові величини і незалежні, то і . Значення коефіцієнта кореляції належить відрізку [-1;1], тобто

Дві випадкові величини і називають корельованими, якщо (або ) і некорельованими, якщо (або). Отже, корельовані величини завжди залежні, проте якщо випадкові величини і залежні, то вони можуть бути як корельованими, так і некорельованими.

Приклад. Задано закон розподілу системи двох випадкових величин

|

5 |

10 | 15

0 | 0,08 | 0,22 | 0,1

1 | 0,1 | 0,35 | 0,15

Знайти закони розподілу компонент системи і коефіцієнт кореляції .

Розв’язання. Додамо задані ймовірності по стовпцях, отримаємо Тому закон розподілу компоненти має вигляд |

5 | 10 | 15

0,18 | 0,57 | 0,25

Аналогічно, додамо задані ймовірності по рядках, отримаємо Закон розподілу компонети : |

0 | 1

0,4 | 0,6

Знайдемо коефіцієнт кореляції . Обчислимо

Тоді кореляційний момент

Отже, коефіцієнт кореляції дорівнює

Відповідь: .

Практична частина.

В задачах 1-33 задано закон розподілу системи випадкових величин . Потрібно знайти коефіцієнт кореляції , умовний закон розподілу величини при умові

1.

|

0 | 1

-1 | 0,1 | 0,2

0 | 0,2 | 0,3

1 | 0 | 0,2

2.

|

2 | 3

2 | 0,2 | 0,3

3 | 0,1 | 0,2

4 | 0 | 0,2

3.

|

0 | 1

-2 | 0,2 | 0,2

-1 | 0,3 | 0,1

0 | 0 | 0,2

4.

|

2 | 3

0 | 0,1 | 0,2

1 | 0,3 | 0,1

2 | 0,2 | 0,1

5.

|

-2 | -1

0 | 0,2 | 0,1

1 | 0,1 | 0

2 | 0,4 | 0,2

6.

|

1 | 3

0 | 0,1 | 0,4

2 | 0,1 | 0,1

3 | 0,1 | 0,2

7.

|

-1 | 1

-2 | 0,2 | 0,1

2 | 0,1 | 0,1

4 | 0,4 | 0,1

8.

|

1 | 5

-2 | 0,2 | 0,1

0 | 0,3 | 0,1

1 | 0,2 | 0,1

9.

|

-3 | 2

0 | 0,5 | 0,1

2 | 0,1 | 0,1

4 | 0,1 | 0,1

10.

|

-2 | -2

-3 | 0,1 | 0,2

-1 | 0,1 | 0,1

0 | 0,2 | 0,3

11.

|

-3 | -1

1 | 0,2 | 0,2

2 | 0,2 | 0,1

3 | 0,2 | 0,1

12.

|

1 | 2

-2 | 0,1 | 0,2

1 | 0,2 | 0,1

2 | 0,1 | 0,3

13.

|

-3 | 1

-3 | 0,3 | 0,1

0 | 0,1 | 0,1

2