Лабораторна робота
Двовимірна випадкова величина. Коефіцієнт кореляції.
Теоретична частина.
Вивчаючи випадкові явища, часто доводиться деякі випадкові величини вивчати сумісно. В таких випадках кажуть про систему кількох випадкових величин. Причому при вивченні системи випадкових величин потрібно врахувати і можливі залежності між випадковими величинами, які становлять систему. Систему випадкових величин називають ще -вимірною випадковою величиною. Надалі розглядатимемо двовимірну випадкову величину , де і - одновимірні випадкові величини, які називають компонентами випадкової величини .
Інтуїтивний підхід до поняття системи двох випадкових величин пов’язаний з уявленням про дослід, результатом якого є пара чисел. Наведемо кілька прикладів.
Приклад 1. Двічі підкидають гральний кубик. Позначимо - кількість очок при першому підкиданні, - кількості очок при другому. Пара буде системою двох випадкових величин.
Приклад 2. Навмання вибирають людину; - її ріст, - вага. Пара - система випадкових величин.
Приклад 3. Нехай - висота вибраного навмання в лісі дерева, - діаметр його основи; - система випадкових величин.
Законом розподілу системи випадкових величин називають співвідношення, яке встановлює зв’язок між можливими значеннями системи і ймовірностями появи відповідних значень.
Розподіл ймовірностей системи двох дискретних випадкових величин часто задають таблицею
| ...
...
...
... | ... | ... | ... | ...
...
Тут - можливі значення випадкової величини , а - можливі значення , а - ймовірність того, що випадкова величина набуде значення , а набуде значення . Крмі того виконується умова
.
Остання умова означає, що в результаті експерименту одне із своїх значень система обов’язково набуде.
Функцією розподілу системи називається функція
За допомогою функції розподілу можна знайти ймовірність попадання випадкової точки в довільний прямокутник із сторонами, паралельними до координатних осей:
Щільністю розподілу неперервної двовимірної випадкової величини називають другу змішану частинну похідну від функції розподілу і позначають
Зворотний зв’язок між щільністю і функцією розподілу системи двох неперервних випадкових величини встановлює формула
Відзначимо властивості щільності розподілу.
Для всіх і маємо
Правильна формула
Якщо відомий закон розподілу системи, то можна знайти закони розподілу кожної з компонент. А саме, якщо дискретна випадкова величина задана таблицею розподілу, то закон розподілу компоненти знаходить так:
а для компоненти маємо:
Якщо випадкова величина задана функцією розподілу , то функції розподілу компонент і визначають за формулами:
Якщо ж випадкова величина задана щільностю розподілу , то щільності компонент такі:
Розподіл однієї компоненти системи, знайдений за умови, що інша компонента прийняла певне значення, називають умовним законом розподілу. Наприклад, умовний закон розподілу компоненти системи дискретних величин у припущенні, що подія відбулася, може бути знайдений за формулою
Випадкові величини, які становлять систему, називають незалежними, якщо закон розподілу однієї з них не залежить від того, яких можливих значень набула інша величина. Для неперервних випадкових величин умова незалежності записується у вигляді
Для опису системи двох випадкових величин використовують кореляційний момент і коефіцієнт кореляції.
Кореляційним моментом системи називають математичне сподівання добутку відхилень випадкових величин і :
Коефіцієнтом кореляції системи називають величину
де - середні квадратичні відхилення компонет.
Кореляційний момент і коефіцієнт кореляції характеризують зв’язок між компонентами системи . А саме, якщо випадкові величини і незалежні, то і . Значення коефіцієнта кореляції належить відрізку [-1;1], тобто
Дві випадкові величини і називають корельованими, якщо (або ) і некорельованими, якщо (або). Отже, корельовані величини завжди залежні, проте якщо випадкові величини і залежні, то вони можуть бути як корельованими, так і некорельованими.
Приклад. Задано закон розподілу системи двох випадкових величин
|
5 |
10 | 15
0 | 0,08 | 0,22 | 0,1
1 | 0,1 | 0,35 | 0,15
Знайти закони розподілу компонент системи і коефіцієнт кореляції .
Розв’язання. Додамо задані ймовірності по стовпцях, отримаємо Тому закон розподілу компоненти має вигляд |
5 | 10 | 15
0,18 | 0,57 | 0,25
Аналогічно, додамо задані ймовірності по рядках, отримаємо Закон розподілу компонети : |
0 | 1
0,4 | 0,6
Знайдемо коефіцієнт кореляції . Обчислимо
Тоді кореляційний момент
Отже, коефіцієнт кореляції дорівнює
Відповідь: .
Практична частина.
В задачах 1-33 задано закон розподілу системи випадкових величин . Потрібно знайти коефіцієнт кореляції , умовний закон розподілу величини при умові
1.
|
0 | 1
-1 | 0,1 | 0,2
0 | 0,2 | 0,3
1 | 0 | 0,2
2.
|
2 | 3
2 | 0,2 | 0,3
3 | 0,1 | 0,2
4 | 0 | 0,2
3.
|
0 | 1
-2 | 0,2 | 0,2
-1 | 0,3 | 0,1
0 | 0 | 0,2
4.
|
2 | 3
0 | 0,1 | 0,2
1 | 0,3 | 0,1
2 | 0,2 | 0,1
5.
|
-2 | -1
0 | 0,2 | 0,1
1 | 0,1 | 0
2 | 0,4 | 0,2
6.
|
1 | 3
0 | 0,1 | 0,4
2 | 0,1 | 0,1
3 | 0,1 | 0,2
7.
|
-1 | 1
-2 | 0,2 | 0,1
2 | 0,1 | 0,1
4 | 0,4 | 0,1
8.
|
1 | 5
-2 | 0,2 | 0,1
0 | 0,3 | 0,1
1 | 0,2 | 0,1
9.
|
-3 | 2
0 | 0,5 | 0,1
2 | 0,1 | 0,1
4 | 0,1 | 0,1
10.
|
-2 | -2
-3 | 0,1 | 0,2
-1 | 0,1 | 0,1
0 | 0,2 | 0,3
11.
|
-3 | -1
1 | 0,2 | 0,2
2 | 0,2 | 0,1
3 | 0,2 | 0,1
12.
|
1 | 2
-2 | 0,1 | 0,2
1 | 0,2 | 0,1
2 | 0,1 | 0,3
13.
|
-3 | 1
-3 | 0,3 | 0,1
0 | 0,1 | 0,1
2