Аналіз рядів розподілу

1.1Визначити середній розмір нарахованої заробітної плати працівникам.

1.2Визначити моду, медіану

1.3Розмах варіації

1.4Середнє лінійне відхилення

1.5Дисперсію

1.6Середнє квадратичне відхилення

1.7Коефіцієнт варіації

1.8Визначити асиметрію і ексцес

1.9Здійснити вирівнювання заданого ряду розподілу за нормальною кривою. За допомогою критеріїв узгодження оцінити ступінь розходження емпіричного і теоретичного розподілів.

1.1 Середній розмір заробітної плати обчислюють за допомогою формули середньої арифметичної зваженої:

де х – індивідуальні значення варіюючої ознаки (варіанти);

f – частота.

1.2 Мода – це варіанта, що найчастіше повторяється в ряді розподілу. В інтервальному ряді модальним є інтервал, який має найбільшу частоту, а мода визначається за формулою:

,

де – нижня межа модального інтервалу;

h – ширина інтервалу;

– частота модального інтервалу;

– частота попереднього відносно модального інтервалу;

– частота наступного відносно модального інтервалу.

Медіана – варіанта, що ділить ранжирований ряд на дві рівні за чисельністю частини.

В інтервальному ряді розподілу медіанний інтервал розраховується, використовуючи кумулятивні частоти, а конкретне значення медіани обчислюється за формулою:

,

де – нижня межа медіанного інтервалу;

h – ширина медіанного інтервалу;

S – кумулятивна частота інтервалу, що передує медіанному;

f – частота медіанного інтервалу.

Визначають медіану і моду також графічним способом, побудувавши гістограму і кумуляту.

1.3 Розмах варіації – це різниця між найбільшим і найменшим значенням ознаки . В інтервальному ряді розподілу розмах варіації визначають як різницю між верхньою межею останнього інтервалу і нижньою межею першого.

,

де – найбільше значення ознаки;

– найменше значення ознаки.

1.4 Середнє лінійне відхилення:

1.5 Дисперсія

1.6 Середнє квадратичне відхилення:

1.7 Лінійний коефіцієнт варіації

100%.

Квадратичний коефіцієнт варіації

100%.

1.8 Найпростішою мірою асиметрії є відхилення між середньою арифметичною і медіаною чи модою. Порівнюємо значення середньої арифметичної, моди, медіани. Якщо має місце правостороння асиметрія, якщо має місце лівостороння асиметрія.

Напрям і міру скошеності характеризують стандартизоване відхилення, яке визначається найчастіше за формулою:

, або А=

При цьому в симетричному розподілі А=0, при правосторонній асиметрії А> 0, при лівосторонній А< 0.

Скупченість окремих значень ознаки навколо середньої називають ексцесом. Мірою ексцесу є стандартизований момент ІУ порядку

Де – центральний момент 4-го порядку

У симетричному, близькому до нормального розподілі Е=3. При гостровершинному розподілі Е> 3, плоско вершинному Е< 3.

Для порівняння ступеня скошеності (асиметрії) різних розподілів використовують стандартизований момент ІІІ порядку:

Де – центральний момент третього порядку

Вважають, що при А < 0,25 асиметрія слабка, якщо 0,25< А < 0,5 – середня і при А> 0,5 – висока.

Розглянуті вище характеристики дають нам уяву про характер центру розподілу, варіації та форми розподілу. Поглиблюючи аналіз, можна описати закономірність співвідношення варіант і частот певною функцією, яку називають теоретичною кривою. Серед множини кривих розподілу найпоширенішою виявилась нормальна крива. Вона застосовується як стандарт, з яким порівнюють інші розподіли.

Частоти , які відповідають теоретичній кривій називаються теоретичними. Для нормального розподілу їх визначають за формулою:

де n – обсяг сукупності ;

– інтегральна функція розподілу .

Функція ґрунтується на стандартизованих відхиленнях :

де – верхня межа інтервалу.

Функція табульована. Для додатніх t значення беремо безпосередньо з таблиць . При від’ємних значеннях t функція становить . Між теоретичними і емпіричними частотами є певні відхилення. Вони можуть мати випадковий характер або бути наслідком невідповідності теоретичної кривої реальному характеру розподілу. Для оцінки істотності відхилень використовують критерії узгодження. Критерій Пірсона обчислюємо за формулою:

Значення порівнюються з критичним для імовірності 1- і числа ступенів вільності

,

де m – число груп;

r – число параметрів функції.

Критичне значення - це максимально можливе . Якщо фактичне значення перевищує критичне > , то відхилення між емпіричними і теоретичними частотами слід вважати істотним. У випадку, коли < істотність відхилення вважається недоказаною.