Рівномірні простори і простори близькості

Поняття рівномірного простору і простору близькості можна розглядати з двох позицій — або як аксиоматизации деяких геометричних об'єктів, близькі до поняття топологічного простору, хоча і зовсім незалежні від нього, або як зручні засоби вивчення топологічних просторів. Коли А. Вейль уперше ввів рівномірності, вони розглядалися саме як такий засіб, придатне на відміну від метрик для вивчення топологічних просторів без яких-небудь припущень про счетности. Близькості також можуть бути використані для вивчення топологий; вони особливо ефективні при дослідженні компактификаций. Бурбаки, що дуже докладно викладає у своїй книзі теорію рівномірних просторів, підкреслює її незалежний характер, хоча вона і дуже тісно зв'язана з теорією топологічних просторів. Зв'язок між цими двома теоріями заснована на тім, що рівномірним просторам і рівномірно безупинним функціям ставляться у відповідність (деяким стандартним образом) топологічні простори і безупинні відображення. Цей перехід від рівномірних просторів до топологічного розбивається на два етапи; проміжне положення займають простору близькості.Теорія рівномірних просторів має разючу подібність з теорією метричних просторів, але область її застосування значно ширше. Зокрема, кожна топологічна група володіє трьома природними равномерностямп, що застосовуються в теорії топологічних груп.

РІВНОМІРНОСТІ І РІВНОМІРНІ ПРОСТОРИ

Спочатку введемо деякі позначення. Нехай X — деяка безліч і А, У — підмножини добутку XХ, тобто відносини на безлічі X. Зворотне до А відношення буде позначатися через –А, а композиція відносин А и В — через А + В так,

Легко бачити, що композиція відносин ассоциативна, тобто (А + В) + С = А +(В + С). З іншого боку, як показують прості приклади, композиція відносин не коммутативна, тобто,: узагалі говорячи, А + В ? В + А. Для довільного відношення А ХХ и натурального числа п відношення пА ХХ визначається индуктивно формулами

1А= А і nА=(п— 1) А+А.

З ассоциативности композиції випливає, що тA + пA = пA+mА=(m+n)A.

Кожна множина V XX, що містить ? и задовільняє вимогу V = — V, називається оточенням діагоналі, безліч всіх оточень діагоналі V XX буде ознвчатися Дх. Якщо для пари х, у крапок X і якогось V Дх ми маємо (х, у) V, то будемо говорити, що відстань між х и у менше V,. і писати х — у< V; у противному випадку будемо писати х — у ? V. Якщо для будь-якої пари х, у і крапок множини А X і деяких V Дх ми маємо х— у < V, т. е, якщо А А V, то будемо говорити, що діаметр А менше V і писати (А)< V. Легко перевірити, що для будь-яких х; у, z X і будь-яких V, V1 V2 Дх виконані наступні умови:

(1) х - х < V;

(2) х — у | < V тоді і тільки тоді, коли | у — х < V ;

(3) якщо х — у < V1 і у — z| < V2, то |x — z| < V1 + V2

Нехай xо — крапка X, і нехай 1/е^х! безліч-5(х0, V)
= {х^.Х:\х0 — л'|< V} називається кулею з центром Х0 радиусщ
V чи просто V-кулею, з центром х0. З (3) відразу випливає, чтВ|
діаметр До-кулі менше IV. Для безлічі АаХ і^некото*'!
рого V е Й)х під У-кулею навколо А ми маємо на увазі мно-
жество В(А, У)= В У(до, V). |*

/ Ж <= А '.-'.; : .

/ Рівномірність на безлічі X є підродина ^сгЯЬ,: /яке задовольняє наступним умовам:

./(Ц1) Якщо Уё=<&і Вус «7е=0;м, го-ц7«=<&. ' , л
v (У2) .Есугм 1/,, У2 е ^, те V^[\V1<=(і. у :
(УЗ) Для будь-якого V е <% існує таке IV е ^, що 2№ з: V.

(У4) П'^==А- * :
Сімейство &аШ називається базою рівномірності Ш, якщо
для будь-якого V <=<і існує таке \У е &, що 1УсгУ. Оче-
видно, що рівномірність °11 може мати багато баз; наимень'ший кардинал виду |.$|, де & — база для <і, називається вагою
рівномірності «і \\ позначається ш (<і). ;

Будь-яка база 9% рівномірності на безлічі X має наступні властивості: (ВШ) Для всіх vi, У2 <= $ існує таке В<^3$, що

V <= 1/, П V2*

(ВШ) Для всякого V е 3$ існує таке № <= $, що 2\У с: V (ВШ) П^ = А-

Відзначимо, що кожне оточення діагоналі В^3)х породжує покриття <е'(У) = {У(х, У)}хеХ безлічі X. Нехай °і —

яка-небудь рівномірність на безлічі X; усяке покриття , безлічі X, у яке можна вписати покриття виду 'е'(У), * де В^°і, називається рівномірним відносно °И. Совокуп- : ность Із усіх покрить безлічі X, рівномірних віднось- * тельно деякої рівномірності °И, на X, має наступні властивості:

(11С1) Якщо $4- е С и .& уписане в деяке покриття $ безлічі X, те $ <= С. (1)З2) Для будь-яких з&1, ,5^2 е С' існує ,5/ е З, що впи- .

сано й у з&\, і в.з&2. *-
(11СЗ) Для будь-якого з& е З існує $ е З, сильно зоряно

уписане в $4-.

(11С4) Для будь-якої пари х, у різних